Fonction De Heaviside


Fonction De Heaviside

Fonction de Heaviside

La fonction H0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction de l'anglais step, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction H discontinue prenant la valeur 0 pour tous les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.

C'est une primitive de la fonction δ de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisé, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction H0,5 satisfait l'équation H0,5(0) = 0,5.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Sommaire

Dérivée

La dérivée de la fonction de Heaviside peut être calculée formellement au sens des distributions, par la méthode suivante :

Nous partons tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

< H'(x),φ(x) > = − < H(x),φ'(x) >

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

<H'(x),\phi(x)> = -\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)\phi'(x)\mathrm{d}x

Une primitive de φ'(x) est φ(x).

Nous avons alors :

<H'(x),\phi(x)> = -\int_{0}^{+\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x = - \lim_{x\to\infty}\phi(x) + \phi(0)

Or, \phi \in\mathcal{D}, l'espace des fonctions test sur \mathbb{R}, donc \lim_{x\to\infty}\phi(x) = 0

D'où on déduit l'expression formelle de la dérivée de l'échelon de Heaviside :

< H'(x),φ(x) > = φ(0) = < δ(x),φ(x) >

, par définition de l'impulsion de Dirac, δ(x).

Primitive

Une primitive de la fonction de Heaviside est donnée par x\mapsto xH(x). En effet, la dérivation de cette expression s'écrit :

\forall x \in \R,\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xH(x))=H(x)+x\delta_0

avec xδ0 = 0.

Voir aussi

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