Fonction Convexe


Fonction Convexe

Fonction convexe

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction convexe est une fonction numérique vérifiant une propriété de sous-additivité vis-à-vis de la barycentration. Graphiquement, cela correspond à un graphe dont la « partie bombée est tournée vers le bas », ce qui peut s'interpréter en termes de partie convexe du plan.

À l'inverse, une fonction dont le graphe à sa « partie bombée tournée vers le haut» est une fonction concave. Elle vérifie une propriété de sur-additivité vis-à-vis de la barycentration. Une fonction est concave si et seulement si son opposée est une fonction convexe.

L’intérêt des fonctions convexes est de produire un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité, et d'apporter des facilités pour la recherche d'extrema.

Sommaire

Convexité pour une fonction d'une variable réelle

Función convexa.png

Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle I de \mathbb{R}. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentation graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. Cette approche montre tout de même vite ses limites, en particulier parce qu'elle n'est guère pertinente pour appliquer la théorie des fonctions convexes à l'optimisation qui en est sans doute la principale motivation.

Le lecteur qui recherche la définition d'une fonction convexe de plusieurs variables, ou définie sur un ensemble convexe d'un espace vectoriel ou affine est invité à se rendre directement à la section suivante.

Définitions

Définition — Une fonction f d’un intervalle I de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est dite convexe lorsque, pour tous x1 et x2 de I et tout λ dans [0,1] on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) \leq \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2)

Cela signifie que pour tout x1 et x2 de I, le segment \ [A_1, A_2] de \ \R^2, où \ A_1 = (x_1 , f(x_1)) et \ A_2 = (x_2 , f(x_2)), est situé au-dessus de la courbe représentative de f.

Une fonction concave est une fonction dont la fonction opposée est convexe.

On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe :

Remarque — La fonction f est convexe sur I si et seulement si \ \{(x,\, y) \in I \times \R\, | y \geq f(x)\} est un sous-ensemble convexe de \ \R^2.

Cet ensemble est appelé l'épigraphe de f.

Exemple : la fonction x\,\colon\, \mapsto |x| est convexe, parce que son épigraphe est un quart de plan (lui-même convexe comme intersection de deux demi-plans). Il est souvent malcommode de vérifier la convexité d'une fonction définie par une formule concrète à partir de la seule définition, on attendra donc quelques paragraphes pour donner d'autres exemples, lorsqu'on disposera d'un critère de convexité plus utilisable en pratique.

Possibilité de n'utiliser que des milieux

La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de [0,1]. Il est possible de n'utiliser que des milieux, mais il est alors indispensable d'ajouter une hypothèse supplémentaire de régularité portant sur f[1].

Proposition — Une fonction f continue sur I est convexe sur I si et seulement si quels que soient les éléments x1 et x2 de I :

f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.

Extension à des barycentres de plus de deux points

Article détaillé : Inégalité de Jensen.

L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l’entier p). On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen :

Proposition — Si f est convexe sur I et si x_1,\, \dots,\, x_p sont des points de I et \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p des réels positifs ou nuls tels que \lambda_1 + \cdots + \lambda_p = 1, alors :

f(\lambda_1\, x_1 + \cdots + \lambda_p\, x_p) \leq \lambda_1\, f(x_1) + \cdots + \lambda_p\, f(x_p).

Géométrie du graphe d'une fonction convexe

On appelle parfois « lemme des trois cordes » le résultat suivant[2] :

Proposition — Si f est convexe sur I, pour tous points x1, x2, x3 de I avec x1 < x2 < x3

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.

Réciproquement, si l'une des trois inégalités est vérifiée pour tous x1, x2, x3 de I avec x1 < x2 < x3, alors f est convexe.

Régularité des fonctions convexes

Le « lemme des trois cordes » permet de montrer que[3] :

Théorème — Si f est convexe sur un intervalle ouvert I

  • f est continue en tout point ;
  • f est dérivable à gauche et à droite en tout point, et les fonctions \ f\,'_g\,,\, f\,'_d sont croissantes sur I ;
  • l’ensemble des points xf n'est pas dérivable (c'est-à-dire tels que \ f\,'_g(x) \neq  f\,'_d(x)) est au plus dénombrable.

Cas des fonctions dérivables

On dispose des caractérisations suivantes :

Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

d'où on tire le corollaire immédiat fort pratique pour vérifier sans mal la convexité d'exemples spécifiques :

Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

f est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f'' est à valeurs positives ou nulles.

Ainsi on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants :

  • la fonction \ \R \to \R,\, x \mapsto x^2 est convexe ;
  • la fonction \ \R \to \R,\, x \mapsto \exp{x} est convexe  ;
  • la fonction \ \R^*_+ \to \R,\, x \mapsto \ln{x} est concave.

Stricte convexité

En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité, la stricte convexité.

Définition — Une fonction f d’un intervalle I de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est dite strictement convexe lorsque, pour tous x1 et x2 distincts dans I et tout λ dans ]0,1[ on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) < \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2)

Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes. On prendra garde à une nuance : de même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante. En revanche, il ne faudrait pas croire que la dérivée seconde d'une fonction dérivable strictement convexe est nécessairement une fonction à valeurs strictement positives : la dérivée d'une fonction strictement croissante peut s'annuler occasionnellement, ou plus exactement peut s'annuler sur un ensemble de points d'intérieur vide. Penser à f\,\colon\, x\mapsto x^4 pour un exemple de fonction strictement convexe dont la dérivée seconde s'annule.

Le cas général

Définitions

On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe, qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.

Définition 1 — Une fonction f d’un convexe C d'un espace vectoriel (ou affine) réel vers \mathbb{R} est dite convexe lorsque, pour tous x1 et x2 de C et tout λ dans [0,1] on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) \leq \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2).

Définition 2 — Une fonction f d’un espace vectoriel (ou affine) réel E vers \mathbb{R}\cup\{+\infty\} est dite convexe lorsque, pour tous x1 et x2 de E et tout λ dans [0,1] on a :

 f(\lambda\, x_1+(1-\lambda)\, x_2) \leq \lambda\, f(x_1)+(1-\lambda)\, f(x_2).

Étant donnée une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de C par la valeur +\infty ; réciproquement étant donnée une fonction convexe f au sens de la définition 2, il est immédiat de vérifier que l'ensemble des points où elle prend une valeur finie est un convexe C et la restriction de f à ce convexe est alors une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.

Certaines sources requièrent de plus que C soit non-vide (dans la définition 1) ou que f ne soit pas la constante +\infty (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés[4].

Propriétés élémentaires

Une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques unes :

  • Une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe.
  • Dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe.
  • Dans un espace normé E, on dira qu'une application U définie sur un convexe de E et à valeurs dans le dual E * est monotone lorsque pour tous x1, x2 dans C, U(x_1)(x_2-x_1)\leq U(x_2)(x_2-x_1). Soit maintenant f différentiable sur un ouvert convexe de E. Alors f est convexe si et seulement si sa différentielle est monotone.
  • Dans un espace normé E, soit f une fonction numérique deux fois différentiable sur un ouvert convexe. Alors f est convexe si et seulement si, en chaque point, la forme quadratique dérivée seconde est positive.

Fonctions affines minorantes

La technique de minoration des fonctions convexes par des fonctions affines est une variante adaptée à l'analyse de l'utilisation des hyperplans d'appui en géométrie convexe. La forme analytique du théorème de Hahn-Banach permettrait de minorer directement une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur la totalité de son espace de départ. En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques[5].

Proposition — Soit E un espace vectoriel topologique, f une fonction convexe et continue définie sur un ouvert convexe non vide U de E et x0 un point de U. Il existe alors une fonction affine continue qui minore f et qui coïncide avec elle en x0.

On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur U est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe f(x) = -\sqrt{1-x^2} sur [ − 1,1] (dont le graphe est un demi-cercle) et x0 = 1, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente.

Fonctions convexes en dimension finie

Problèmes de continuité

Continuité sur un ouvert

Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de \R^n est forcément continue en tout point de l'ouvert. La démonstration va nous donner une information plus précise[6] :

Théorème — Une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur un ouvert de \R^n est localement lipschitzienne, et donc continue.

Discontinuités au bord

À une variable, sur un intervalle non ouvert, on a vu qu'une fonction convexe n'était pas nécessairement continue.

Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si f est convexe sur un intervalle [a,b], alors nécessairement la limite à gauche f + (a) de f en a existe et est inférieure ou égale à la valeur f(a). La discontinuité de f en la borne a se produit alors dans le cas où f + (a) < f(a). On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de f en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par f + (a)[7].

Dès la dimension 2, les choses ne sont pas aussi confortables, comme le montre l'exemple suivant :

Soit C le disque-unité fermé de \R^2 ; considérons la fonction f définie sur C par :

\left\{\begin{matrix}f(x,y)&=&\displaystyle{x^2\over{y+1}}&\mbox{si }(x,y)\not=(0,-1)\\ f(0,-1)&=&0&\\ \end{matrix}\right.

Cette fonction f est convexe. Elle est toutefois discontinue au point (0, − 1) mais ici la discontinuité ne peut être levée par une simple modification de la valeur f(0, − 1). On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, f(0,y) tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers (0, − 1) le long du cercle frontière de C, f(x,y) tend vers 2. Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs valeurs d'adhérence de f au point (0, − 1) et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette f continue en modifiant ses valeurs sur le bord[8].

Toutefois, si l'ensemble de définition est un polytope, les choses se passent comme sur les intervalles de \R, comme on peut le voir en appliquant le théorème suivant[9] :

Théorème — Une fonction convexe bornée définie sur l'intérieur d'un polytope admet un prolongement convexe continu au polytope.

Fermeture d'une fonction convexe

Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe f sur la frontière de son domaine de définition jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois semi-continu inférieurement (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes).

Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout \R^n et prenant éventuellement la valeur +\infty ; on appellera domaine de définition d'une telle fonction convexe l'ensemble des points où elle prend une valeur finie.

Théorème — Soit f une fonction convexe de domaine de définition D_f\subset \R^n. On note \overline f la fonction définie sur \R^n par :

Pour tout x dans \R^n, \overline f(x):=\liminf_{y\to x} f(y).

La fonction \overline f est alors caractérisée par l'une au choix des trois propriétés suivantes :

(1) \overline f coïncide avec f en les points qui ne sont pas sur la frontière relative de D_f\, ; elle est convexe et semi-continue inférieurement ;

(2) \overline f coïncide avec f en les points qui ne sont pas sur la frontière relative de Df et, pour tout point x de la frontière relative de Df et tout segment semi-ouvert ]x,z] inclus dans l'intérieur relatif de Df, f(x)=\lim_{\stackrel{y\to x}{y\in]x,z]}}f(y) ;

(3) \overline f a pour épigraphe l'adhérence de l'épigraphe de f.

La fonction \overline f est appelée la fermeture de f. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des fonctions convexes fermées ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement.[10].

Applications en physique

L'analyse convexe trouve un grand nombre d'applications en physique, lorsque les potentiels énergétiques sont localement convexes (existence de solutions stables, de changements de phase). En homogénéisation, par exemple, les théories de type variationnel permettent d'estimer les solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques grâce à la représentation des potentiels énergétiques par transformée de Legendre. La transformée de Legendre, formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation.[11]

Références

Les ouvrages mentionnés par des lettres entre crochets dans ces références sont ceux cités dans la section bibliographique.

  1. Ce résultat est mentionné par [NP] p. 10, qui l'attribuent à Johan Jensen et renvoient à son article « Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes », Acta Mathematica vol. 30 (1906), p. 175-193. La deuxième preuve ci-dessous est celle fournie dans [N-P].
  2. Ce résultat est cité par [N-P], p. 20-21, qui l'attribuent à L. Calvani, renvoyant à son article « Sulle funzioni converse di una o due variablili definite in aggregate qualunque », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 41 (1916), p. 103-134.
  3. Voir [N-P], p. 21. Cet ouvrage attribue le théorème de dérivabilité à gauche et à droite à Otto Stolz, renvoyant à son traité Grundzüge der Differential und Integralrechnung, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1893.
  4. Pour l'ensemble de cette sous-section, voir [H-L], p.74 à 76.
  5. La proposition qui suit est énoncée dans [N-P], p. 114 (sous l'hypothèse d'un espace E normé, qui ne joue pas un rôle essentiel dans la preuve).
  6. [H-L], p. 102-104, la minoration de la fonction convexe ayant été adaptée au vu de [N-P], p. 119.
  7. Ces remarques sont disponibles, avec leurs preuves et quelques détails, dans [N-P], p. 22.
  8. L'exemple figure dans [H-L] p. 105, avec l'explication de la convexité de f.
  9. Ce théorème est cité sans démonstration par [N-P], p. 123, qui renvoie à D. Gale, V. Klee et R.T. Rockafellar, « Convex functions on convex polytopes », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 19 (1968), p. 867-873.
  10. Pour l'ensemble de cette sous-sous-section, voir [H-L], p.79-80. [N-P], p. 122, mentionne également ces résultats en les attribuant à Werner Fenchel, renvoyant à Convex cones, sets and fucnctions, Princeton University Press, 1951.
  11. Voir pour un aperçu § 4 in Ivar Ekeland, Roger Temam, SIAM, 1999, Convex Analysis and Variational Problems, ISBN 0-89871-399-4.

Bibliographie

[H-L] - Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 (ISBN 3540422056) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-01586-4.

[N-P] - Constantin Nicolescu et Lars-Erik Persson, Convex Functions and their Applications : A Contemporary Approach, coll. « Ouvrages de mathématiques de la Société mathématique du Canada », vol. 23, Springer, 2006 (ISBN 978-0387243009)

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