Fonction Carré


Fonction Carré

Fonction carré

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Mathématiques élémentaires
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Probabilités
Statistiques

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté , soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Sommaire

Propriétés

Signe
La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0.
Parité
Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que f(x) = f( − x). En effet avec la remarque précédente (-x)\times(-x)=x\times x.

Résolution d'équation de type x² = a

Article détaillé : équation du second degré.

Quand x2 = a, il y a trois cas possibles :

  • a < 0 : Aucune solution dans l'ensemble des réels R (voire solutions irréelles)
  • a = 0 : Une solution, x = 0
  • a > 0 : Deux solutions, x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a}

Par exemple, si x2 = 9 alors x = 3 ou x = − 3, car 32 = ( − 3)2 = 9.

Cas de a < 0 et solutions complexes (voir l'article détaillé sur le Nombre Complexe)
Si a < 0, il n'existe aucune solution réelle, c'est à dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution(s) irréelle(s), c'est à dire complexe(s). Supposons que a = − 9. On a alors :
a = -1 \times 9
Sachant que x2 = a, on déduit ce qui suit :
x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}
Puisque \sqrt{-1} est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a :
x = 3i
De façon plus générale, pour x2 = a et avec a < 0, on a x = \sqrt{|a|} \times i.

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine impaire.

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). On remarque bien que l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini en plus l'infini et en moins l'infini.

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