Flot geodesique

Flot géodésique

En mathématiques, le flot géodésique, parfois également appelé : « coulée géodésique », permet de décrire la dynamique classique d'une particule massive se déplaçant librement sur une variété riemannienne V. Il est formalisé par un groupe continu à un paramètre qui opère sur le fibré tangent unitaire T₁V de la variété V.

Lorsque la variété V est compacte à courbure négative constante, le flot géodésique fournit à la physique théorique le modèle le plus simple de système hamiltonien complètement chaotique.

Description

Étant donné un point (x,v) du fibré tangent unitaire de V, soit $g:\R \rightarrow V$ l'unique géodésique de V telle que g(0) = x et g'(0) = v parcourue à vitesse constante égale à 1.

Le flot géodésique est alors défini par $\varphi(t,(x,v))=(g(t),g'(t))$

Exemples

Le flot géodésique des surfaces à courbure négative constante

Dès 1898, Hadamard reconnaissait que le flot géodésique sur une surface à courbure négative constante possédait une dynamique présentant la propriété de sensibilité aux conditions initiales, devenue depuis l'un des paradigme de la théorie du chaos.

Ce flot est une parfaite illustration des propriétés de la hiérarchie ergodique ; il est en effet, par ordre d' « instabilité » croissante :

• ergodique (Hedlung ^[1] & Hopf ^[2])

• mélangeant (Hedlung ^[3] & Hopf ^[4])

• hyperbolique (Anosov ^[5]). Il possède un exposant de Lyapounov strictement positif, qui s'identifie à son entropie de Kolmogorov-Sinaï.

• isomorphe à un système de Bernouilli (Ornstein & Weiss ^[6].)

Articles connexes

• Géométrie différentielle
• Mécanique lagrangienne
• Mécanique hamiltonienne
• Théorie ergodique
• Système dynamique
• Théorie du chaos
• Géométrie hyperbolique
• Demi-plan de Poincaré
• Disque de Poincaré

Bibliographie

• Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.

• Yakov Pesin ; Geodesic Flows With Hyperbolic Behavior of The Trajectories and Objects Connected With Them, Russian Mathematical Surveys 36:4 (1981), 3--15.

• Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991), publié dans : Astérisque 201-203 (1991), 269-298.

Bibliothèque virtuelle

• Mark Pollicott ; Lectures on ergodic theory, geodesic flows and related topics, Ulm (2003). Notes de cours non corrigées disponibles en pdf.

• Mark Pollicott ; Dynamical zeta functions and closed orbits for geodesic and hyperbolic flows, Les Houches (2003). Notes de cours non corrigées disponibles en pdf.

Notes

1. ↑ G. Hedlung ; On the metrical transitivity of the geodesics on closed surfaces of constant negative curvature, Annals of Mathematics 35 (1935), 787-808.
2. ↑ E. Hopf ; Ergodentheorie, Springer (1937).
3. ↑ G. Hedlung ; The dynamics of geodesic flows, Bulletin of the American Mathematical Society 35 (1939), 241-246.
4. ↑ E. Hopf ; Statistik der geodätischen linien in mannigfaltigkeiten negativer krümung, Berichte uber die Verhandlungen der Sächsischen, Akademie der Wissenschaften Leipzig 91 (1939), 261-304.
5. ↑ D. Anosov ; Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute 90:1 (1967), 1-235.
6. ↑ D. Ornstein & B. Weiss ; Geodesic flows are Bernouillian, Israel Journal of Mathematics 14 (1973), 184.

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