Faisceau injectif


Faisceau injectif

Un faisceau de groupes abéliens \mathcal F sur un espace topologique X est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau \mathcal A d'un faisceau de groupes abéliens \mathcal B sur X, tout morphisme injectif de faisceaux de groupes abéliens i:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{F} se prolonge en un morphisme g:\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{F}.

Pour rappel, tout groupe abélien se plonge dans un groupe abélien injectif. De manière analogue :

Tout faisceau \mathcal F de groupes abéliens sur X se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

Démonstrations

Pour tout point x\in X, il existe un plongement de la tige \mathcal{F}_x dans un groupe abélien Jx. Introduisons le faisceau gratte-ciel J'x défini par :
J'x(U) = Jx si x\in U ;
J'x(U) = 0 sinon.
Pour tout faisceau de groupes abéliens \mathcal A, on a :
 Hom_X(\mathcal{A},J'_x)=Hom(A_x,J_x)
Il s'ensuit que J'x est un faisceau injectif. Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle \mathcal{F}\rightarrow \prod_XJ'_x est un monomorphisme de \mathcal F dans un faisceau injectif.


Tout faisceau \mathcal F de groupes abéliens sur X admet une résolution injective \mathcal{F}\rightarrow I^*, id est une suite exacte longue de faisceaux injectifs de groupes abéliens (In,dn) et un plongement i:\mathcal{F}\rightarrow I^0 d'image le noyau de d0.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Faisceau injectif de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Faisceau Injectif — Un faisceau de groupes abéliens sur un espace topologique X est dit injectif lorsque, pour tout sous faisceau d un faisceau de groupes abéliens sur X, tout morphisme injectif de faisceaux de groupes abéliens se prolonge en un morphisme …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Partition de l'unité — En première approche, on peut dire qu une partition de l unité est une famille de fonctions positives telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d elle vaille 1 : . Plus précisément, si X… …   Wikipédia en Français

  • TOPOLOGIE - Topologie algébrique — Inventée au début du XXe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l’introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l’exposé, on a… …   Encyclopédie Universelle

  • Diviseur (géométrie algébrique) — En mathématiques, plus précisément en géométrie algébrique, les diviseurs sont une généralisation des sous variétés de codimension 1 de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d un usage commun : les diviseurs de… …   Wikipédia en Français

  • Préfaisceau — En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des catégories, un préfaisceau sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie. On peut donc avoir des préfaisceaux d… …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE — Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l’algèbre relativement récente (cf. ALGÈBRE, DEDEKIND). Pour «comprendre» les phénomènes d’intersection des courbes et des surfaces, il s’est révélé nécessaire d’élaborer des… …   Encyclopédie Universelle

  • Diviseur (Géométrie Algébrique) — Les Diviseurs de Weil et de Cartier sont des outils de la géométrie algébrique. En géométrie algébrique, comme en analyse complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir la nature d un schéma (une… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de diviseurs — Diviseur (géométrie algébrique) Les Diviseurs de Weil et de Cartier sont des outils de la géométrie algébrique. En géométrie algébrique, comme en analyse complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir …   Wikipédia en Français