Exposant D'un Groupe


Exposant D'un Groupe

Exposant d'un groupe

L'exposant d'un groupe est une notion mathématiques et plus précisément d'algèbre, en théorie des groupes.

Elle est utilisée surtout pour les groupe abélien finis, par exemple pour la démonstration du théorème de Kronecker. Elle correspond à une hypothèse du problème de Burnside, on la trouve donc dans le théorème de Burnside associé.

Sommaire

Définition

L'ordre d'un élément g du groupe désigne, s'il existe, le plus petit entier strictement positif n vérifiant gn = 1 où 1 désigne l'unité du groupe.

Dans le cas d'un groupe contenant un élément d'un ordre infini ou si le plus petit commun multiple n'existe pas, ce qui ne se produit que dans le cas d'un groupe d'ordre infini, on dit que l'exposant n'est pas fini.

Propriétés

L'exposant d'un groupe fini est nécessairement inférieur ou égal à l'ordre du groupe. En effet, l'ordre du groupe est un multiple de chacun des ordres des éléments du groupe d'après le théorème de Lagrange. Dans le cas où le groupe est en plus abélien, une propriété plus forte existe:

  • Tout groupe abélien fini contient au moins un élément dont l'ordre est égal à l'exposant.


Références

Liens externes

Références

S. Lang Algebre Dunod 2004
J.F. Labarre La theorie des groupes Presses Universitaires de France (PUF) 1978
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