Exposant (Mathématiques)

Exposant (mathématiques)

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En mathématiques, il est souvent intéressant de multiplier un nombre a par lui-même plusieurs fois de suite. Dans une telle opération, l'exposant est le nombre de facteurs intervenant dans cette multiplication. Par commodité, on note ce produit avec a et le nombre de facteurs en exposant (typographie). Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à deux et a un nombre réel ou complexe :

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

qui est lu « a exposant n » ou abusivement « a puissance n ».

Par convention, a¹ = a (on considère que a est un produit avec un seul facteur) et, si a est différent de zéro, a⁰ = 1 (voir plus bas pour les raisons de ces conventions).

$a^2=a\times a$ est appelé le carré de a, car l'aire d'un carré de côté a est a².

$a^3=a \times a \times a$ est appelé le cube de a, car le volume d'un cube de côté a est a³.

Cette notion, où l'exposant est entier et positif peut être étendue à des exposants entiers négatifs, fractionnaires, réels, complexes, p-adiques, etc.

Cette notion est également étendue à tous les objets mathématiques sur lesquels on peut effectuer une multiplication ou une autre opération à notation multiplicative (fonctions, matrices, etc).

Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide.

La structure mathématique naturelle où apparaît la notion d'exposant est celle de groupe. L'exposant d'un groupe fini est un invariant de ce groupe.

Exposants entiers

a désigne un nombre réel.

Exposants entiers positifs

Avec la définition

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

et les propriétés élémentaires de calcul sur les nombres, on peut démontrer les propriétés essentielles suivantes :

Produit d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, $a^{n+m} = a^n\times a^m.$

Quotient d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, avec n − m > 1 ; $a^{n-m} = \dfrac{a^n}{a^m}.$

Exposant d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, $\left(a^n\right)^m = a^{n\times m}.$

Deux nombres élevés au même exposant —  Si n est un entier supérieur ou égal à deux, a et b deux nombres, $(a\times b)^{n} = a^{n}\times b^{n}.$

Exposants négatifs

Article détaillé : Suite géométrique.

La définition permet de voir que :

$a^2 = a\times a$ ;

$a^3 = a\times a\times a = a^2 \times a$ ;

et plus généralement, quel que soit a :

$a^{n} = a^{n-1}\times a$

ce qui amène, en divisant par a (lorsque ce dernier nombre est différent de zéro), à poser

$a^{n-1} = \dfrac{a^n}{a}$

et donc à définir :

$a^{1} = \dfrac{a^2}{a} = a$

$a^{0} = \dfrac{a^1}{a} = 1$

$a^{-1} = \dfrac{a^0}{a} = \dfrac{1}{a}$

et plus généralement, par récurrence :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Histoire

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