Espace topologique irréductible


Espace topologique irréductible

Définition

Un espace topologique X non vide est dit irréductible si l'une des affirmations (équivalentes) suivante est réalisée :

  • L'intersection d'une famille finie d'ouverts non vides de X est non vide.
  • La réunion d'une famille finie de fermés propres (i.e différents de X) est propre.
  • Tout ouvert non vide de X est dense dans X.
  • Tout ouvert de X est connexe.

Composante irréductible

On cherche souvent à décomposer un espace topologique en parties irréductibles. Une composante irréductible d'un espace topologique X est un sous-espace irréductible de X maximal pour l'inclusion. En utilisant le lemme de Zorn, on peut voir que X se décompose toujours en réunion de composantes irréductibles.

Dans le cas d'un espace topologique séparé, les composantes irréductibles sont les singletons. Ainsi la notion d'espaces irréductibles n'a d'utilité que pour certains types de topologie, comme par exemple la topologie de Zariski.

Lien interne


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