Espace précompact


Espace précompact

En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si pour tout ε>0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε, ou de façon équivalente si pour tout ε>0, on peut recouvrir E par un nombre fini de parties de diamètres inférieurs à ε.

Propriétés

  • Équivalence des deux définitions.

La première implique la seconde car toute boule de rayon ε est de diamètre inférieur ou égal à 2ε. La seconde implique la première car toute partie non vide de diamètre strictement inférieur à ε est incluse dans une boule ouverte de rayon ε.

  • Tout sous-espace d'un précompact est précompact (d'après la seconde définition).

Théorème — Un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet.

Démonstration
  • Tout espace métrique compact est précompact.

Soit ε>0, alors E est inclus dans la réunion de toutes les boules ouvertes de rayon ε (centrées en chaque point de E). Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement ouvert de E un sous recouvrement fini, d'où le résultat.

  • Tout espace métrique compact est complet.

Il suffit d'utiliser que dans un tel espace toute suite admet une sous-suite convergente, et que lorsqu'une suite de Cauchy x admet une sous-suite convergente y, x converge (vers la limite de y).

  • Tout espace métrique précompact et complet est compact.

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il suffit de montrer que toute suite x d'un espace précompact E possède une sous-suite de Cauchy. Recouvrons E par un nombre fini de parties de diamètres inférieurs à 20 = 1. L'une de ces parties – appelons-la E0 – contient une infinité de termes de la suite x, i.e. une sous-suite (xφ(0,n)). On peut de même recouvrir E0 par un nombre fini de parties de E0 de diamètres inférieurs à 2 − 1 et l'une d'elles, E1, contiendra une sous-suite (xφ(1,n)) de (xφ(0,n)). En itérant le processus, on construit une suite décroissante de parties Ek de diamètres respectivement inférieurs à 2 k, dont chacune contient une sous-suite (xφ(k,n)) de la sous-suite précédente (xφ(k-1,n)). La sous-suite diagonale (xφ(n,n)) est alors une sous-suite Cauchy de x.

Remarques
  • Compte tenu de ce théorème, un espace métrique est précompact si et seulement si son complété est compact, ou encore, si et seulement si toute suite admet une sous-suite de Cauchy.
  • Tout ce qui précède se généralise dans le cadre des espaces uniformes.

Références

  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Livre III : Topologie générale, [détail des éditions], chap. II
  • Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
  • Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995

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