Espace metrique


Espace metrique

Espace métrique

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

Sommaire

Définitions

  • On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble non vide, et d une distance sur E.
  • On appelle distance sur un ensemble E, une application d de E2 dans  \mathbb{R}^+ , telle que :
  • On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de  \mathbb{R}^+ ), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) : B(a,r)=\{x\in E\mid d(x,a)<r \}, \mathcal{B}_f(a,r)=\left\{x\in E\,\mid\,d(x,a)\leq r\right\}.
  • On appelle ouvert de E, tout ensemble U tel que pour tout x de U, il existe une boule ouverte de centre x, de rayon non nul, et incluse dans U: U \subset E\ \mathrm{ouvert\ de }\ E \Longleftrightarrow \forall x \in U,\ \exists r>0,\ B(x,r) \subset U . Un ouvert est une partie qui a une certaine « épaisseur » autour de ses points. La distance munit donc E d'une topologie dite « topologie induite par la distance » d. Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique. Les notions de boule, de borné (c'est-à-dire inclus dans une boule), de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies définissables à l'aide d'une métrique.
Remarques
  • Une propriété intéressante des espaces topologiques métrisables est celle de séparation. En effet, si on choisit deux éléments distincts x et y d'un espace métrique E, leur distance notée δ est non nulle, par conséquent les boules ouvertes de centre x et y et de rayon δ/2 sont disjointes et sont des voisinages de x et y. Un espace métrique dispose d'une propriété du même ordre mais plus forte. Si A et B sont deux fermés disjoints il existe deux ouverts U contenant A et V contenant B qui sont disjoints. On dit qu'un espace métrique est normal (cf l'article Espace normal).

Exemples

  • Une norme N induit de manière naturelle une distance d(x,y)=N(x-y).
  • La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) : sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est 1 (d(x,y) = 1 pour tout x différent de y et d(x,x) = 0). Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que toute partie F de E est ouverte.
  • Les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
  • Si on munit R+ de la distance d(x,y)=|ex- ey|, on retrouve la topologie usuelle sur R+ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
  • La distance aux échecs permet de connaître le nombre de coups nécessaire au jeu d'échec pour aller avec le roi d'une case x1, y1 à une case x2, y2 et se définit par D_{Echec} = \max \left ( \left | \left ( x_2 - x_1 \right) \right | , \left | \left ( y_2 - y_1 \right ) \right | \right )
  • La distance de Manhattan : dans le plan  \mathbb R^2:d(a,b)=|x_b-x_a|+|y_b-y_a|.c'est bien sûr la distance induite par la norme 1.

Équivalence d'espaces métriques

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Soit deux espaces métriques (M1, d1) et (M2, d2). M1 et M2 sont appelés

  • topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux.
  • uniformément isomorphes s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.
  • isométriquement isomorphes s'il existe un isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M1M2 qui préserve les distances : d2(f(x), f(y)) = d1(x, y) pour tout x, y dans M1. Les isométries sont forcément injectives.
  • similaire s'il existe une constante positive k > 0 et une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1M2 et d2(f(x), f(y)) = k d1(x, y) pour tout x, y dans M1.
  • similaire (du second type) s'il existe une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1M2 et d2(f(x), f(y)) = d2(f(u), f(v)) si et seulement si d1(x, y) = d1(u, v) pour tout x, y,u, v dans M1.

Dans le cas d'un espace euclidien avec la métrique usuelle, les deux notions de similarité sont équivalentes.

Voir aussi

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