Espace dual


Espace dual
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En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E.

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Sommaire

Définitions

Soient (K,+, \times) un corps commutatif, E un K-espace vectoriel

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application \phi : E \to K telle que

\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).

L'ensemble \mathcal{L}(E,K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté E * .

Si ϕ est un élément de E * et x un élément de E, on écrit parfois {}^{\langle\varphi,x\rangle} pour ϕ(x). Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire \langle \cdot \rangle, on a un moyen naturel de « plonger » E dans E * , c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre E et un sous-espace de E *  : à chaque élément x de E on associe la forme linéaire \phi_x : E \to K;\ y \mapsto \langle x,y\rangle. Alors l'application f : E \to E^*;\ x \mapsto \phi_x est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E * .

Dualité en dimension finie

Si l'espace E est de dimension finie n, alors l'espace dual E * , isomorphe à E, est lui aussi de dimension n. On peut raffiner ce résultat.

Théorème de la base duale — Soit (e_1,\ldots,e_n) une base de E. Alors la famille (e_1^*,\ldots,e_n^*) de vecteurs de E * définie par

\forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \forall x \in E,\ e_i^*(x)=x_i;

(où xi est la coordonnée de x correspondant au vecteur ei) est une base de E * , appelée base duale. En particulier, on a

\dim E= \dim E^*~.

En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual. Remarquons que d'après le théorème d'Erdős-Kaplansky, ceci est faux pour tout espace vectoriel de dimension infinie.

Exemple

Les polynômes de Lagrange associés à n + 1 scalaires distincts x0, x1, …, xn forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base duale est formée des n + 1 fonctions d'évaluation Φi ( P ) = P( xi ).

Orthogonal

Ici, E est un espace vectoriel quelconque (on ne le suppose pas de dimension finie).

Rappelons que les notations {}^{\langle\varphi,x\rangle} et ϕ(x) désignent toutes les deux, l'image de x \in E par la forme linéaire ϕ.

  • Si A est un sous-espace de E, on définit l'orthogonal (ou annulateur) A^\circ de A dans E * par :
 A^\circ=\{\phi \in E^* \,|\, \forall x \in A,\ \langle\phi,x\rangle=0\}.
  • Si B est un sous-espace de E * , on définit l'orthogonal B^\bot de B dans E par :
 B^\bot=\{x \in E\colon\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\} \,

Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application x\mapsto \phi_x définie dans le paragraphe espaces préhilbertiens ci-dessus est un isomorphisme de E sur de E^\ast. Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire.

Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual : la représentation d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension p (distinct de E) ; on a donc p < n.

Alors, il existe q = np formes linéaires indépendantes  \phi_1,\ldots, \phi_q telles que

 F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i;

c'est-à-dire que pour tout vecteur x de E,

x \in F \Longleftrightarrow \left( \phi_1(x)=0~\text{et}~\phi_2(x)=0~\text{et}~\ldots~\text{et}~\phi_q(x)=0\right).

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

On peut donc représenter un sous-espace vectoriel de codimension q par q équations linéaires indépendantes.

Transposition

Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K et u\in\mathcal{L}(E,F) une application linéaire, l'application transposée de u, notée tu, est l'application de F^\ast dans E^\ast donnée par


\forall \eta\in F^\ast,\forall x\in E, \langle {}^tu(\eta),x\rangle = \langle \eta,u(x)\rangle

Il est immédiat que tu est une application linéaire, et que l'application u\mapsto {}^tu est linéaire.

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels, on a


\forall u\in\mathcal{L}(E,F),\forall v\in\mathcal{L}(F,G), {}^t(v\circ u)= {}^tu\circ  {}^tv

(Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.)

Exemple élémentaire

Si E = Km et F = Kn, alors \mathcal{L}(E,F)= \mathrm{Mat}_{nm}(K) et on retrouve la transposition des matrices.

Bidual

On définit une application linéaire i de E dans  (E^\ast)^\ast par la formule


\forall \xi\in E^\ast,\ \langle i(x),\xi\rangle =  \langle \xi, x \rangle

Autrement dit, i(x) est la forme linéaire sur  E^\ast qui à toute forme linéaire ξ sur E associe \langle \xi, x\rangle

L'application i est injective : il résulte de l'existence de base que pour tout x non nul de E il existe une forme linéaire ξ telle que \langle \xi, x\rangle\not=0.

Si E est de dimension finie, c'est donc un isomorphisme, dit naturel ou canonique, car il dépend de la seule donnée de E.

Par contre, i n'est jamais surjective si E n'est pas de dimension finie.

Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).

Cas d'un corps de base non commutatif

Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif K^\ast est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.

Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite.

Soient en effet u\in\mathcal{L}(E,K) et \lambda\in K. On définit u\cdot\lambda par la formule


(u\cdot\lambda)(x)= u(x)\lambda

C'est bien une application linéaire car, pour x\in E et \lambda,\mu\in K, on a


(u\cdot\lambda)(\mu x)=u(\mu x)\lambda= (\mu u(x))\lambda=\mu \big(u(x)\lambda) =\mu\big( (u\cdot\lambda) (x)\big)

Il faut remarquer au passage que si E et F sont de dimension au moins 2, \mathcal{L}(E,F) n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace dual de Wikipédia en français (auteurs)

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