Espace Normal


Espace Normal

Espace normal

Un espace topologique séparable X est dit normal lorsque, pour tout couple de fermés disjoints E et F de X, il existe un couple d'ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.

En mathématiques, un espace normal est un cas particulier d'espace topologique. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze.

Elle provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923[1]. Nicolas Bourbaki précise à son sujet : « Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question (topologie algébrique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de pathologie ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par Jean Dieudonné. »[1]

Sommaire

Définition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal[2] s'il est séparé, et si pour tout couple d'ensembles fermés A et B disjoints, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que: A soit inclus dans U et B dans V.

Propriétés

Propriétés élémentaires

  • Si X et Y sont deux espaces topologiques homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi[3].

En effet, on suppose ici que X est normal et que φ est un homéomorphisme entre X et Y. Y est séparé car cette propriété est transférée par homéomorphisme. Soit AY et BY deux fermés disjoints de Y et AX et BX leurs images réciproque par φ. Le fait que φ soit continue montre que AX et BX sont deux fermées disjoints. Il existe deux ouverts U contenant AX et V contenant BX, disjoints car X est normal. Les ensembles φ(U) et φ(V) contiennent respectivement AY et BY par construction et sont disjoints. De plus, ils sont fermés car la réciproque de φ est continue, ce qui termine la démonstration.

Un espace topologique métrisable est un espace tel qu'il existe une distance dont la topologie induite se confond avec celle de l'espace.

  • Un espace compact X est normal[5].

La démonstration est un peu analogue à celle qui montre qu'un sous espace compact est fermé.

Conditions nécessaires et suffisantes

Il existe de nombreuses caractérisation d'un espace normal. Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition :

  • Un espace topologique séparé X est normal si, et seulement si, pour tout fermé A de X et tout ouvert U contenant A, il existe un ouvert V contenant A tel que l'adhérence de V soit incluse dans U[6] :
A\subset U\subset \overline{U} \subset V

La deuxième condition nécessaire et suffisante, qui découle de la précédente est le lemme d'Urysohn, qui indique qu'un espace séparé est normal si, et seulement si, pour tous fermés disjoints A et B de X, il existe une fonction f continue qui vaut 1 sur A et 0 sur B[7]. L'article détaillé propose une démonstration.

Annexes

Bibliographie

  • (en) M. Henle A combinatorial introduction to topology Dover Publications (1994) (ISBN 0486679667)
  • (fr) S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) (ISBN 2729600595)

Source externe

Historique

Mathématiques

Références

  1. a  et b Nicolas Bourbaki Éléments d'histoire des mathématiques Springer-Verlag (éd 2006) p 205 (ISBN 3540339388)
  2. S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 29 (ISBN 2729600595)
  3. J. Dugundji Topology Wm. C. Brown Publishers (1989) p 144 (ISBN 0697068897)
  4. F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel École Normale supérieure (2008-2009) p 36
  5. S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 30 (ISBN 2729600595)
  6. S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 36 (ISBN 2729600595)
  7. S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 37 (ISBN 2729600595)
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