Equivalence des distances


Equivalence des distances

Équivalence des distances

Étant donné un espace topologique métrisable (X, T), on peut trouver diverses distances qui définissent la même topologie T. Par exemple, la topologie usuelle de \mathbb{R} peut être définie par la distance d(x,y) = | xy | , mais aussi par \frac{d}{1+d}, ou tout multiple de d par un réel strictement positif. Il faut donc préciser les "équivalences" entre de telles distances.

  • Deux distances d1 et d2 sont dites topologiquement équivalentes si les topologies associées sont identiques.
  • Deux distances d1 et d2 sont dites uniformément équivalentes si l'identité de (X,d_1) \to (X,d_2) est uniformément continue et sa réciproque aussi.
  • Deux distances d1 et d2 sont dites Lipschitz-équivalentes s'il existe des constantes a et b strictement positives telles que a d_1 \leq d_2 \leq b d_1.

Toutes ces relations entre distances sont des relations d'équivalences.

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