Equation de Poisson


Equation de Poisson

Équation de Poisson

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En analyse vectorielle, l'équation de Poisson est l'équation différentielle partielle suivante: \Delta\varphi=f , Ou bien :


{\partial^2 \over \partial x^2 }\varphi(x,y,z) +
{\partial^2 \over \partial y^2 }\varphi(x,y,z) +
{\partial^2 \over \partial z^2 }\varphi(x,y,z) = f(x,y,z)

c'est-à-dire qu'elle met le laplacien appliqué à \varphi égal à f.

Trouver \varphi pour un f donné est un problème pratique important en électrostatique, puisque c'est la méthode habituelle pour trouver le potentiel électrique pour une distribution de charges donnée :

\Delta V = - {\rho \over \epsilon_0},

ainsi qu'en gravitation universelle, où l'on relie cette fois le potentiel gravitationnel Φ à la masse volumique μ selon

ΔΦ = 4πGμ.

Sommaire

Résolution

Il y a diverses méthodes pour la résolution numérique. La méthode de relaxation, un algorithme itératif, est un exemple. Les méthodes basées sur les transformées de Fourier sont presque toujours utilisées en gravitation universelle.

Considérations historiques et essais de résolution

L'équation de Poisson est une correction célèbre de l’équation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel :

 \nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho \; ,

On appelle aussi cette équation : l'équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction d’un point donné ρ = 0, nous obtenons l’équation de Laplace :

 \nabla^2 \phi = 0 \; .

En 1812, Poisson découvrit que cette équation n’est valide qu'hors d’un solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut d’abord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. L’étude des champs scalaires φ d’une divergence donne :

 \nabla^2 \phi = \rho (x, y, z) \; .

Par exemple, une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité d’une charge électrique ρe dans une place particulière :

 \nabla^2 \Psi = {\partial ^2 \Psi\over \partial x^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial y^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial z^2 } =
                     - {\rho_{e} \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \; .

La distribution d’une charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser l’équation de Poisson-Boltzmann :

 \nabla^2 \Psi = {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} -
            e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} \right) \; ,

ce qui, dans la plupart des cas, ne peut être résolu analytiquement, mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires, l’équation de Poisson-Boltzmann est :

 {1\over r^{2}} {d\over dr} \left( r^{2} {d\Psi \over dr} \right) =
     {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} - e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} \right) \; ,

laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Même si le champ φ n’est pas scalaire, l’équation de Poisson est valide, comme elle peut l’être par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions :

 \square \phi_{ik} = \rho (x, y, z, ct) \; .

Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à l’infini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à l’équation de Poisson est le potentiel newtonien d’une fonction ρ(x, y, z) :

 \phi_M = - {1\over 4 \pi} \int {\rho (x, y, z) dv \over r} \; ,

r est une distance entre l’élement avec le volume dv et le point M. L’intégration parcourt la totalité de l’espace. L’intégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le Problème de Dirichlet de l’équation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié :

 \phi(\xi , \eta) = {1\over 2 \pi} \int _0^{2\pi}
     {R^2 - \rho^2\over R^2 + \rho^2 - 2R \rho \cos (\psi - \chi) } \phi
     (\chi) d \chi \; ,

où :

 \xi = \rho \cos \psi \; , \quad \eta = \rho \sin \psi \; .

φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions aux limites de la fonction requise φ de l’équation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace Del.svg2 φ = 0 dans l’espace, pour un domaine constitué d’une sphère de rayon R. Cette fois la fonction de Green est:

 G(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = {1\over r} - {R\over r_1 \rho} \; ,

où :  \rho = \sqrt {\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2} est une distance d’un point (ξ, η, ζ) depuis le centre d’une sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r1 est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symmetrique au point (ξ, η, ζ). L’intégrale de Poisson est maintenant de la forme:

 \phi(\xi, \eta, \zeta) = {1\over 4 \pi} \int\!\!\!\int_S {R^2 - 
        \rho^2 \over R r^3} \phi ds \; .

Références

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9


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