Ensemble macrocanonique

Ensemble grand-canonique

En physique statistique, l’ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules. Cela signifie que le système peut échanger de l’énergie et des particules avec le réservoir, autrement dit, l’énergie et le nombre de particules sont alors amenés à fluctuer d’un système à un autre de l’ensemble.

Cet ensemble est utilisé lorsque le nombre de particules ne peut pas être fixé, plus particulièrement pour les systèmes composés de bosons et de fermions.

Introduction

Dans cet ensemble, on considère que le système est composé de particules identiques^[1], et on introduit le potentiel chimique, pour prendre en considération la variation du nombre de particules. Le réservoir doit être considéré grand devant le système, afin que les échange d’énergie et de particules n’influent pas^[2] sur la température du réservoir, et donc sur la température du système. Le réservoir doit alors se comporter comme un thermostat et imposer sa température au système.

On considère l’hamiltonien^[3] du système défini comme :

$\hat H = \sum_{i=1}^{N} \hat h(i)$

où $\hat h(i) |i\rangle = E_i |i\rangle$ est l’équation de Schrödinger pour chaque particule i.

Pour chaque ensemble miscrocopique $|n\rangle$, on a alors l’énergie et le nombre de particules associés :

$E \left(|n\rangle\right) = \sum_i E_i n_i$

$N \left(|n\rangle\right) = \sum_i n_i$

Suivant que le système considéré est composé de bosons, ou de fermions, n_i est soumis aux conditions suivantes :

$n_i =\begin{cases} 0,...,\infty & \text{pour les bosons } \\ 0,1 & \text{pour les fermions} \end{cases}$

Observable miscrocopique

Fonction de partition

La fonction de partition est définie comme étant :

$\Xi = \sum_{\{|n_i\rangle\} } e^{ -\beta \big[ E \left(|n\rangle\right) - \mu N\left(|n\rangle\right)\big] } = \sum_{ \{ |n_i \rangle \} } e^{ -\beta \sum_i \left(E_i - \mu \right)n_i }$

où ${\{|n_i\rangle\} }$ représente l’ensemble statistique de tous les ensemble miscrocopique $|n\rangle$.

On peut^[3] écrire Ξ comme :

$\Xi = \big( \sum_{n_1} e^{ -\beta \left(E_1 - \mu \right)n_1 } \Big) \big( \sum_{n_2} e^{ -\beta \left(E_2 - \mu \right)n_2 } \Big)... = \prod_i \Xi_i$

avec $\Xi_i = \big( \sum_{n_i} e^{ -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i } \Big)$, qui représente la fonction de partition d'un système d'une seule particule.

Probabilité d'un micro-état

La probabilité pour que le système soit dans un micro-état i est défini par :

$p_i = \frac{e^ { -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i }} {\Xi}$

où $\sum_{i} p_i \ = \ 1$

Observables macroscopique

Notes

1. ↑ il est aussi possible de considérer un système avec des particules différentes.
2. ↑ la variation de température du réservoir doit être négligeable
3. ↑ ^{a  et b} dans ce cas, il n’y a pas d’interactions entre les particules du systèmes

Voir aussi

Articles connexes

Tableau résumant les ensembles en physique statistique	Ensembles
	Microcanonique	Canonique	Grand-canonique
Variables indépendantes	E, N, V ou B	T, N, V ou B	T, μ, V ou B
Fonction microscopique	nombre des micro-états Ω	Fonction de partition canonique $Z = \sum_k e^{-\beta E_k}$	Fonction de partition grand-canonique $\Xi \ = \ \sum_i e^{ -\beta (E_i - \mu N_i ) }$
Potentiel thermodynamique	Entropie $S \ = \ k_B \ \ln \Omega$	Energie libre $F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z$	Grand potentiel $\Phi_G=- \ k_B T \ln \Xi$

Bibliographie

• Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions] 
• Frederic Reif, Physique Statistique, Cours de Physique de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972) 398 pp. réédité par Dunod.

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