Endomorphisme lineaire


Endomorphisme lineaire

Endomorphisme linéaire

En mathématiques, un endomorphisme linéaire ou endomorphisme d'espace vectoriel ou endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel E dans lui-même.

L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E est habituellement noté End(E) ou \mathcal{L}(E).

Rappelons que l'ensemble \mathcal{L}(E,F) des applications linéaires d'un K-espace-vectoriel dans un autre est un espace est un K-espace vectoriel muni de la loi d'addition des fonctions et de la multiplication externe par un scalaire de K. Ainsi \left(\mathcal{L}(E), +, .\right) est une K-espace vectoriel.

Sommaire

Propriétés des endomorphismes

Nous ne rappellerons pas ici toutes les propriétés des applications linéaires et qui sont donc aussi vérifiées par les endomorphismes linéaires.

Avec les lois d'espace vectoriel + et ., et plus la loi de composition des applications, \mathcal{L}(E) est une algèbre non commutative.

Signalons la formule du binôme qui est vérifiée lorsque deux endomorphismes commutent.

à compléter ...

Les endomorphismes en dimension finie

Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. Souvent la même base de E est considérée au départ qu'à l'arrivée. La matrice obtenue est une matrice carrée.

Diagonalisation des endomorphismes

Endomorphismes en dimension finie

En dimension finie, la diagonalisation d'un endomorphisme consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme s'écrit sous une forme diagonale. De manière générale, tous les endormorphismes ne sont pas diagonalisables, il est possible dans certains cas tout au plus de les trigonaliser. L'intérêt de la diagonalisation est de pouvoir étudier facilement un endomorphisme, de calculer aisément ses puissances nèmes, de rechercher ses racines carrées etc.

Endomorphismes quelconques

Voir aussi

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