Développements limités

Développement limité

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté D.L.) d'une fonction f au voisinage d'un point, est une approximation polynomiale de cette fonction en ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

• d'une fonction polynôme ;
• et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (ie : le reste) ainsi faite, soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre 1, on parle d'approximation linéaire.

En mathématique, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

L'étude des développements limités se prolonge par l'étude des développements en séries entières.

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et $x_0 \in I$. On dit que f possède un développement limité d'ordre n (abrégé par D.L._n) en x₀, s'il existe n + 1 réels a₀,a₁,...,a_n et une fonction $R : I \rightarrow \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in I$ :

$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x ) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + R(x )$

avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x₀, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la série. C'est-à-dire que :

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0$

Les fonctions vérifiant ceci sont notées o((x − x₀)ⁿ). On écrit donc : $f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)$

Note : Le nombre n est appelé ordre de développement.

Il est fréquent de chercher un développement limité au voisinage de 0. L'expression d'un tel D.L. se trouve être plus simple. En posant x = x₀ + h, on a :

$f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (x - x_0)^i + o((x - x_0)^n)$ qui se réécrit en $f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)$

Conséquences immédiates

On a a₀ = f(x₀)

Démonstration

En utilisant la forme du D.L._n en $x_0 : \quad f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o(h^n)$, on a pour h = 0 :

$f(x_0 + 0) = a_0 + a_1 \cdot 0^1 + ... + a_n \cdot 0^n + 0$

D'où f(x₀) = a₀

 

Si une fonction admet un D.L._n au voisinage de x₀, alors ce développement est unique.

Démonstration

Soit $f:I \rightarrow \mathbb{R}$, une fonction admettant un D.L. d'ordre n en x₀. On suppose qu'il existe deux suites de réels $(a_0, a_1, ..., a_n)\ et\ (b_0, b_1, ..., b_n)$ telles que :

$f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot h^i + o_1(h^n)= \sum_{i = 0}^n b_i \cdot h^i + o_2(h^n)$

On a alors :

$a_0 = f(x_0) = b_0 \qquad pour\ h = 0,$

$a_1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0}{h} = b_1$

$a_2 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - a_0 - a_1 \cdot h}{h^2} = b_2$

...

$a_n = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - \sum_{j = 0}^{n - 1} a_j \cdot h^j}{h^n} = b_n$

Et donc :

$a_i = b_i \quad \forall i \in \{1..n\}$

D'où il y a unicité d'un tel développement limité.

 

Note : la fonction f peut être à valeurs vectorielles.

Opérations sur les développements limités

Somme

Si ƒ et g possèdent deux D.L._n, alors ƒ + g possède un D.L._n qui s'obtient en effectuant la somme des deux polynômes.

Multiplication par λ

si ƒ possède un D.L._n alors λ·ƒ aussi, obtenu en multipliant le D.L._n de ƒ par λ.

Produit

Si ƒ et g possèdent des D.L._n, alors ƒ·g possède un D.L._n. Si a_k, b_k et c_k sont les coefficients de x^k dans les développements respectifs de ƒ, g et ƒ·g, le coefficient c_k est obtenu par la formule suivante :

$c_k = \sum_{i+j=k}a_ib_j\,$

Inverse

Si u(x₀) = 0 et si u possède un D.L._n au voisinage de x₀, alors $\frac{1}{1 - u}$ possède un D.L._n. Ce développement limité se trouve en cherchant un D.L._n de

$\sum_{k=0}^n u^k$

Composition

si u possède un D.L._n au voisinage de x₀ et si v possède un D.L._n au voisinage de u(x₀), alors v o u possède un D.L._n qui s'obtient en cherchant un D.L._n de Q_n o P_n où P_n et Q_n sont les D.L._n de u et v

ex : développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 de $e^{\frac{1}{1-x}}$

D.L.₂au voisinage de 1 de e^x :

$e^x = e(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} + o((x - 1)^2))$

rem: le D.L. au voisinage de 1 de e^x se trouve en remarquant que e^x = e^.e^{x − 1} et en utilisant le D.L. de e^h au voisinage de 0

D.L.₂ au voisinage de 0 de $\frac{1}{1-x}$ :

$\frac{1}{1-x} = 1 + x +x^2 + o(x^2)$

D.L.₂ au voisinage de 0 de $e^{\frac{1}{1-x}}$:

$e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + (x + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2))$

$e^{\frac{1}{1-x}} = e(1 + x +\frac{3}{2} x^2 + o(x^2))$

Intégration

Si ƒ est continue sur un intervalle I autour dex₀ et possède un D.L._n au voisinage de x₀, alors toute primitive F de ƒ possède un D.L._n+1 au voisinage de x₀ qui est

$F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}$

Dérivation

il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un D.L._{n - 1} pour la dérivée d'une fonction admettant un D.L._n au voisinage de x₀.

par exemple la fonction définie par

$f(x) = x^3\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pour tout x non nul et ƒ(0) = 0

possède un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0 mais sa dérivée, non continue, ne possède pas de D.L.₁ .

Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en x_o alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en x_o .

D.L._n et fonctions dérivables

Article principal: Théorème de Taylor

Le mathématicien Taylor a démontré qu'une fonction f, dérivable n fois sur un intervalle I contenant x₀, possédait un D.L._n au voisinage de x₀ :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$

soit en écriture abrégée

$f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)$

En revanche, le fait qu'une fonction possède un D.L._n au voisinage de x₀ n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x₀. On peut juste déduire, de l'existence d'un D.L.₀ au voisinage de x₀, la continuité en x₀, et, de l'existence d'un D.L.₁ au voisinage de x₀, la dérivabilité en x₀. Par contre si f' admet un D.L. d'ordre n-1 en x_o alors la partie régulière du D.L. de f' est la dérivée de la partie régulière du D.L. d'ordre n de f en x_o .

Quelques utilisations

Le développement d'ordre 0 consiste à considérer que ƒ est continue en x₀ :

$f(x) = f(x_0) + \varepsilon(x)$

Le développement limité d'ordre 1 consiste à approcher une courbe par sa tangente ; on parle aussi d'approximation affine :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + o(x-x_0)$.

Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x₀.

Le développement limité d'ordre 2 consiste à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique. Il permet aussi de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente, au voisinage du point de contact (pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul).

Le changement de variable $h = \frac{1}{x}$ permet, à l'aide d'un D.L.₀ au voisinage de 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un D.L.₁ au voisinage de 0, de déterminer l'équation d'une asymptote.

Quelques exemples

Fonction cos et son développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

Les fonctions suivantes possèdent des D.L._n au voisinage de 0 pour tout entier n et sont développables en séries entières.

• $\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i+ \frac{x^{n+1}}{1-x}$ une conséquence en est la somme de la série géométrique.
• $\ln(1+x) = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}}{i}x^i + o(x^n)$ par intégration de la formule précédente et changement de x en -x
• $e^{x} = \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}x^{i} + o(x^n)$
• $\sin(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}x^{2i+1} + o(x^{2n+2})$ à l'ordre 2n + 1 ou 2n + 2, car le terme en x^{2n + 2} est nul (comme tous les autres termes de puissance paire), donc o(x^{2n + 1}) = o(x^{2n + 2}).
• $\cos(x) = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1})$ à l'ordre 2n ou 2n + 1, car le terme en x^{2n + 1} est nul (comme tous les autres termes de puissance impaire), donc o(x²ⁿ) = o(x^{2n + 1}).
• $(1+x)^a = 1+\sum_{i=1}^n \frac1{i!} \left(\prod\limits_{j=0}^{i-1} (a-j)\right)x^i + o(x^n)$

Voir l'article série entière.

Formulaire

Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles:

• $(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

• $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)$

• $\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$

• $\ln(1-x) = -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})$

• $\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})$

• $e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

• $\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• $\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• $\tan(x) = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} +o(x^{2n})$ où les B_n sont les nombres de Bernoulli

• ${\rm ch}(x) = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• ${\rm sh}(x) = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm th}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$

• ${\rm Arcsin}(x) = x+\frac{1x^3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Argsh}(x) = x-\frac{1x^3}{2 \cdot 3}-\cdots+(-1)^n\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Arctan}(x) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$

• ${\rm Argth}(x) = x+\frac{x^3}{3}+ \cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})$

Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1, qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision :

• en 0 : $(1 + x)^n = 1 + n\,x + o(x)$, en particulier
  • $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x + o(x)$,
  • $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + o(x)$
• en 0 : fonctions trigonométriques
  • $\sin x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arcsin } x = x + o(x^2)$
  • $\tan x = x + o(x^2)\qquad {\rm Arctan } x = x + o(x^2)$
  • $\cos x = 1- \frac{x^2}{2} + o(x^3)\qquad$

Articles connexes

• Continuité
• Dérivation itérée
• Série de Taylor
• Théorème de Taylor
• Série entière
• Interpolation polynomiale
• Approximation linéaire

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