Dérivée de Fréchet

Dérivée fonctionnelle

La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations.

Soit F[φ] une fonctionnelle, c'est-à-dire une application d'un espace de Banach dans le champ des nombres réels ou complexes. L'objet $\tfrac{\delta F\left[\phi\right]}{\delta\phi(x)}$, appelé dérivée fonctionnelle ou dérivée de Fréchet, représente la variation δF[φ] de la fonctionnelle F[φ] rapportée à la variation de la fonction φ(x) au point x. Par conséquent, la dérivée fonctionnelle elle-même dépend de x. On peut adopter comme définition :

$\delta F\left[\phi\right]=\int\mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \delta\phi(x)$,

ce qui implique que la variation totale de F sous l'effet de la variation de la fonction φ(x) est une superposition linéaire des changements locaux additionnés sur toute la plage de variation de x.

On peut aussi définir la dérivée fonctionnelle à la façon d'une dérivée classique, comme la limite d'un rapport entre deux variations. Pour montrer cela, on va imposer à la fonction φ(x) une variation de grandeur ε localisée au point y :

$\delta\phi\left[ x\right]=\epsilon \delta(x-y)$

En insérant cela dans la première définition, on obtient :

$\delta F\left[\phi\right]=F\left[\phi+\epsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]=\int \mathrm dx \frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)} \epsilon\delta(x-y)=\epsilon\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}$

En passant à la limite $\epsilon\rightarrow 0$, on a :

$\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{F\left[\phi+\varepsilon\delta(x-y)\right]-F\left[\phi\right]}{\varepsilon}$

Règles de calcul

La dérivée fonctionnelle obéit à des règles semblables à celles du calcul différentiel ordinaire :

1. Elle est linéaire.
2. La dérivée fonctionnelle d'un produit de deux fonctionnelles $F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right]$ est donnée par :

   $\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}$

3. La dérivée fonctionnelle d'une fonctionnelle de fonctionnelle est donnée par :

   $\frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}$

En physique

La dérivée fonctionnelle est une technique standard de minimisation (par exemple, minimisation d'un potentiel énergétique). Les calculs ne sont la plupart du temps pas justifiés formellement (d'un point de vue mathématique), la règle informelle suivante étant la plus souvent appliquée:

$\frac{\partial \phi(x)}{\partial \phi(z)} = \delta(x-z).$

Cette équation se démontre à partir de l'équation aux limites ci-dessus.

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