Décomposition QR

En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme

A = QR

où Q est une matrice orthogonale (QQ^T = I), et R une matrice triangulaire supérieure.

Ce type de décomposition est souvent utilisée pour le calcul de solutions de systèmes linéaires non carrés, notamment pour déterminer la pseudo-inverse d'une matrice.

Extensions

Il est possible de calculer une décomposition RQ d'une matrice, ou même des décompositions QL et LQ, où la matrice L est triangulaire inférieure.

Exemples

Il existe plusieurs méthodes pour réaliser cette décomposition :

• la méthode de Householder où Q est obtenue par produits successifs de matrices orthogonales élémentaires
• la méthode de Givens où Q est obtenue par produits successifs de matrices de rotation plane
• la méthode de Schmidt

Chacune d'entre elles a ses avantages et ses inconvénients. (La décomposition QR n'étant pas unique, les différentes méthodes produiront des résultats différents).

Méthode de Householder

Soient x un vecteur colonne arbitraire de dimension m et α= ± ||x||, où || || désigne la norme euclidienne. Pour des raisons de stabilité du calcul, α doit de plus être du signe du premier élément de x.

Soit e₁ le vecteur (1,0,..., 0)^T, et définissons, si x n'est pas colinéaire à e₁ :

$\mathbf{u} = \mathbf{x} - \alpha\mathbf{e}_1,$

$\mathbf{v} = {\mathbf{u}\over||\mathbf{u}||},$

$Q = I - 2 \mathbf{v}\mathbf{v}^T.$.

Q est la matrice de Householder ou matrice orthogonale élémentaire et

$Qx = (\alpha\ , 0, \cdots, 0)^T$.

(Si x est colinéaire à e₁, on a le même résultat en prenant pour Q la matrice identité.)

Nous pouvons utiliser ces propriétés pour transformer une matrice A de dimension m*n en une matrice triangulaire supérieure. Tout d'abord, on multiplie A par la matrice de Householder Q₁ en ayant pris le soin de choisir pour x la première colonne de A . Le résultat est une matrice QA avec des zéros dans la première colonne excepté du premier élément qui vaudra α.

$Q_1A = \begin{bmatrix} \alpha_1&\star&\dots&\star\\ 0 & & & \\ \vdots & & A' & \\ 0 & & & \end{bmatrix}$

Ceci doit être réitéré pour A' qui va être multiplié par Q’₂ (Q’₂ est plus petite que Q₁). Si toutefois, vous souhaitiez utiliser Q₁A plutôt que A’, vous deviez remplir la matrice de Householder avec des 1 dans le coin supérieur gauche :

$Q_k = \begin{pmatrix} I_{k-1} & 0\\ 0 & Q_k'\end{pmatrix}$

Après t itérations, t = min(m − 1,n),

$R = Q_t \cdots Q_2Q_1A$

est une matrice triangulaire supérieure. Si $Q = Q_1^T Q_2^T \cdots Q_t^T$ alors A = QR est la décomposition QR de A. De plus, par construction les matrices Q_k sont non seulement orthogonales mais aussi symétriques, donc $Q=Q_1Q_2\cdots Q_t$.

Exemple

Calculons la décomposition QR de

$A = \begin{pmatrix} 12 & -51 & 4 \\ 6 & 167 & -68 \\ -4 & 24 & -41 \end{pmatrix}$

On choisit donc le vecteur a₁ = (12,6, − 4)^T. On a donc $\| a_1 \| =\sqrt{12^2+6^2+(-4)^2}=14$. Ce qui nous conduit à écrire $\|a_1\| e_1 = (14, 0, 0)^T$.

Le calcul nous amène à u = 2( − 1,3, − 2)^T et $v = 14^{-{1 \over 2}}(-1, 3, -2)^T$. La première matrice de Householder vaut

$Q_1 = I - {2 \over 14} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

$= I - {1 \over 7}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 9 & -6 \\ 2 & -6 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6/7 & 3/7 & -2/7 \\ 3/7 &-2/7 & 6/7 \\ -2/7 & 6/7 & 3/7 \\ \end{pmatrix}$

Observons que:

$Q_1A = \begin{pmatrix} 14 & 21 & -14 \\ 0 & -49 & -14 \\ 0 & 168 & -77 \end{pmatrix}$

Nous avons maintenant sous la diagonale uniquement des zéros dans la 1^re colonne.

Pour réitérer le processus, on prend la sous matrice principale

$A' = M_{11} = \begin{pmatrix} -49 & -14 \\ 168 & -77 \end{pmatrix}$

Par la même méthode, on obtient la 2^e matrice de Householder

$Q_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7/25 & 24/25 \\ 0 & 24/25 & 7/25 \end{pmatrix}$

Finalement, on obtient

$Q=Q_1Q_2=\begin{pmatrix} 6/7 & -69/175 & 58/175\\ 3/7 & 158/175 & -6/175 \\ -2/7 & 6/35 & 33/35 \end{pmatrix}$

$R=Q_2Q_1A=Q^T A=\begin{pmatrix} 14 & 21 & -14 \\ 0 & 175 & -70 \\ 0 & 0 & -35 \end{pmatrix}.$

La matrice Q est orthogonale et R est triangulaire supérieure, par conséquent, on obtient la décomposition A = QR.

Coût et avantages

Le coût de cette méthode pour une matrice n*n est en : $\frac{4}{3} \times n^3$ Ce coût est relativement élevé (la méthode de Cholesky, pour les matrices symétriques définies positives est en $\frac{1}{3} \times n^3$ ). Cependant, la méthode de Householder présente l'avantage considérable d'être beaucoup plus stable numériquement, en limitant les divisions par des nombres petits. La méthode de Givens, malgré un coût encore supérieur à celui-ci, offrira encore davantage de stabilité.

Méthode de Schmidt

On considère le procédé de Gram-Schmidt appliqué aux colonnes de la matrice $A=[\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{a}_n]$, muni du produit scalaire $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \mathbf{v}^\top \mathbf{w}$ (ou $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \mathbf{v}^* \mathbf{w}$ pour le cas complexe).

On définit la projection :

$\Pi_{\mathbf{e}} \mathbf{a} = \frac{\langle \mathbf{e},\mathbf{a}\rangle}{\langle \mathbf{e},\mathbf{e}\rangle}\mathbf{e}$

puis les vecteurs :

$\begin{align} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{a}_1, & \mathbf{e}_1 &= {\mathbf{u}_1 \over \|\mathbf{u}_1\|} \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{a}_2-\Pi_{\mathbf{e}_1}\,\mathbf{a}_2, & \mathbf{e}_2 &= {\mathbf{u}_2 \over \|\mathbf{u}_2\|} \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{a}_3-\Pi_{\mathbf{e}_1}\,\mathbf{a}_3-\Pi_{\mathbf{e}_2}\,\mathbf{a}_3, & \mathbf{e}_3 &= {\mathbf{u}_3 \over \|\mathbf{u}_3\|} \\ & \vdots &&\vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{a}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\Pi_{\mathbf{e}_j}\,\mathbf{a}_k, &\mathbf{e}_k &= {\mathbf{u}_k\over\|\mathbf{u}_k\|} \end{align}$

On réarrange ensuite les équations de sorte que les $\mathbf{a}_i$ soient à gauche, en utilisant le fait que les $\mathbf{e}_i$ sont des vecteurs unitaires:

$\begin{align} \mathbf{a}_1 &= \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_1 \rangle \mathbf{e}_1 \\ \mathbf{a}_2 &= \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_2 \rangle \mathbf{e}_1 + \langle\mathbf{e}_2,\mathbf{a}_2 \rangle \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{a}_3 &= \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{e}_1 + \langle\mathbf{e}_2,\mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{e}_2 + \langle\mathbf{e}_3,\mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{e}_3 \\ &\vdots \\ \mathbf{a}_k &= \sum_{j=1}^{k} \langle \mathbf{e}_j, \mathbf{a}_k \rangle \mathbf{e}_j \end{align}$

où $\langle\mathbf{e}_i,\mathbf{a}_i \rangle = \|\mathbf{u}_i\|$. Ceci s'écrit matriciellement :

A = QR

avec:

$Q = \left[ \mathbf{e}_1, \cdots, \mathbf{e}_n\right] \qquad \text{et} \qquad R = \begin{pmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_2\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\mathbf{a}_3\rangle & \ldots \\ 0 & \langle\mathbf{e}_2,\mathbf{a}_2\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\mathbf{a}_3\rangle & \ldots \\ 0 & 0 & \langle\mathbf{e}_3,\mathbf{a}_3\rangle & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.$

Exemple

On reprend la matrice de l'exemple

$A = \begin{pmatrix} 12 & -51 & 4 \\ 6 & 167 & -68 \\ -4 & 24 & -41 \end{pmatrix} .$

Rappelons qu'une matrice orthogonale Q vérifie

$\begin{matrix} Q^{T}\,Q = I. \end{matrix}$

On peut alors calculer Q par les moyens de Gram-Schmidt comme suit :

$U = \begin{pmatrix} \mathbf u_1 & \mathbf u_2 & \mathbf u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -69 & -58/5 \\ 6 & 158 & 6/5 \\ -4 & 30 & -33 \end{pmatrix};$

$Q = \begin{pmatrix} \frac{\mathbf u_1}{\|\mathbf u_1\|} & \frac{\mathbf u_2}{\|\mathbf u_2\|} & \frac{\mathbf u_3}{\|\mathbf u_3\|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/7 & -69/175 & -58/175 \\ 3/7 & 158/175 & 6/175 \\ -2/7 & 6/35 & -33/35 \end{pmatrix}.$

Dans ce cas, on a :

$\begin{matrix} Q^{T} A = Q^{T}Q\,R = R; \end{matrix}$

$\begin{matrix} R = Q^{T}A = \end{matrix} \begin{pmatrix} 14 & 21 & -14 \\ 0 & 175 & -70 \\ 0 & 0 & 35 \end{pmatrix}.$

Relation avec la décomposition RQ

La décomposition RQ transforme une matrice A en produit d'une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q. La seule différence avec la décomposition QR est l'ordre de ces matrices.

La décomposition QR est l'application du procédé de Gram-Schmidt sur les colonnes de A, en partant de la première colonne ; la décomposition RQ est l'application du procédé de Gram-Schmidt sur les lignes de A, en partant de la dernière ligne.

Méthode de Givens

Dans cette méthode, la matrice Q utilise des rotations de Givens. Chaque rotation annule un élément de la partie triangulaire inférieure stricte de la matrice, construisant la matrice R, tandis que la concaténation des rotations engendre la matrice Q.

Dans la pratique, les rotations de Givens ne sont pas effectivement assurées par la construction d'une matrice pleine et une multiplication matricielle. Une procédure de rotation de Givens est utilisé à la place qui est l'équivalent de la multiplication par une matrice de Givens creuse, sans efforts supplémentaires de la manipulation des éléments non nuls. La procédure de rotation de Givens est utile dans des situations où seul un nombre relativement restreint hors éléments diagonaux doivent être remis à zéro, et est plus facilement parallélisée que les transformations de Householder.

Exemple

Reprenons le même exemple

$A = \begin{pmatrix} 12 & -51 & 4 \\ 6 & 167 & -68 \\ -4 & 24 & -41 \end{pmatrix}.$

On doit d'abord construire une matrice de rotation qui annulera l'élément le plus bas de la colonne de gauche, $\mathbf{a}_{31} = -4$, qu'on construit par une méthode de rotation de Givens. On appelle cette matrice G₁. On va d'abord faire une rotation du vecteur (6, − 4), pour le ramener sur l'axe X. Ce vecteur forme un angle $\theta = \arctan\left({-4 \over 6}\right)$. La matrice G₁ est donc donnée par :

$G_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$

$\approx \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,83205 & -0,55470 \\ 0 & 0,55470 & 0,83205 \end{pmatrix}$

Le produit G₁A annule le coefficient $\mathbf{a}_{31}$ :

$G_1A \approx \begin{pmatrix} 12 & -51 & 4 \\ 7,21110 & 125,6396 & -33,83671 \\ 0 & 112,6041 & -71,83368 \end{pmatrix}$

Par suite, on construit des matrices de Givens G₂ and G₃, qui vont respectivement annuler a₂₁ et a₃₂, engendrant la matrice R. La matrice orthogonale Q^T est formée de la concaténation de toutes les matrices de Givens créées Q^T = G₃G₂G₁.

Voir aussi