Décharge d'un condensateur

La charge ou décharge d'un condensateur au travers d'une résistance est une technique dans le domaine de l'électronique qui est exploitée par diverses applications. En particulier, elle permet de concevoir des temporisations. Celles-ci sont bénéfiques par exemple pour des capteurs anti-remous mesurant le niveau d’un liquide.

La valeur de la temporisation peut être réglée à l'aide d'un montage potentiométrique (ou rhéostatique) de la résistance, ce qui permet de modifier le temps de décharge du condensateur.

Montage électrique

Considérons en t = 0 un condensateur qui a préalablement été chargé et dont la tension électrique mesurée entre ses bornes est égale à E. La fermeture de l’interrupteur à cet instant précis permet alors l’écoulement à travers la résistance d’un courant visant à équilibrer progressivement les charges respectives des deux bornes du condensateur.

Équations

Si C est la capacité et R la résistance, les solutions de l’équation différentielle liant l’intensité du courant à la différence de potentiel U_c(t) aux bornes du condensateur sont les suivantes :

• solution de la décharge :

$U_c(t) = E \ e^{-\frac{t}{\tau}} \$

• solution de la charge (dans ce cas, il faut naturellement introduire en série une source de tension dont E est la valeur nominale qui n’est pas représentée sur le schéma) :

$U_c(t) = E \ (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \$

où $\tau = R \ C$ est la constante de temps du circuit^[1].

Démonstration

Pour la décharge :

En appliquant la convention générateur pour le condensateur, sa loi de comportement lie l’intensité i(t) à la dérivée de la différence de potentiel U_c(t) et s’écrit :

$i(t) = -C \ \dot U_c(t)$.

Par la loi d'Ohm :

$U_c(t) = R \ i(t),$

puis, par substitution et élimination du courant, l'équation différentielle est la suivante :

$\tau \ \dot U_c(t) = U_c(t)\$ où $\tau = R \ C.$

Sa solution est de la forme

$U_c(t) = K \ e^{-\frac{t}{\tau}}$

où K est une constante caractérisée par les conditions initiales U_c(0) = E conduisant à $K = E. \$

 

Courbe de décharge

Comme le montre l'équation caractérisant $U_c(t)\,$, la décharge est une exponentielle décroissante.

Représentés sur des axes normalisés, cette courbe possède les caractéristiques suivantes :

• La tangente à l'origine de l'exponentielle coupe la valeur limite (ici U_c = 0) en $t = \tau\,$,
• $U_c(\tau) = 0.37 \ E$,
• $U_c(3\tau) = 0.05\ E$,
• $U_c(5\tau) = 0.01\ E$.

Le régime est généralement considéré comme étant permanent au-delà de $t = 5\tau\,$.

On peut ainsi considérer deux phases chronologiques de la décharge :

• Régime transitoire : entre 0 et 5τ,
• Régime permanent : au-delà de 5τ.

Application

La charge d'un condensateur à travers une résistance est beaucoup plus utilisée.

Exemple d'application : le capteur de niveau d'eau anti-remous.

Le capteur ouvre ou ferme un contact (photo-diode + photo-transistor) selon la présence ou absence d'eau à un certain niveau d'une cuve. Le problème qui se pose est de pouvoir éliminer le phénomène de « clignotement » du capteur dû aux remous de l'eau, qui peuvent générer des problèmes au niveau d'un automate.

La solution consiste à temporiser la sortie du capteur en intercalant un circuit RC entre le contact « photo-transistor » et la sortie.

Une telle solution peut être présentée comme ceci :

La sortie peut basculer après un temps prédéfini pour lequel le capteur voit de l'eau en permanence (donc pas de remous), donc à partir d'une tension « seuil » aux bornes du condensateur. En cas de remous, le contact s'ouvre, et donc le condensateur se décharge, on repart à zéro.

La présence de l'amplificateur opérationnel monté en trigger de Schmitt (ou comparateur à hystérésis) est destinée à empêcher le clignotement de la sortie dans le cas où la tension aux bornes du condensateur n'est pas purement exponentielle (des ondulations sur la courbe peuvent exister).

Notes (et références)

1. ↑ Une modification de R agit en proportion sur τ. Concernant les unités : si C est exprimé en farad (soit en $\scriptstyle A \ s \ V^{-1}$) et R en ohm (soit en $\scriptstyle V \ A^{-1}$), alors le produit τ est exprimé en secondes.

Voir aussi

• Condensateur