Décagones

Décagone

Un décagone régulier

Un décagone est un polygone à dix sommets et à dix côtés. Il a en tout et pour tout 35 diagonales. La somme de ses 10 angles vaut 1440°.

Aire d'un décagone régulier

L'aire d'un décagone régulier vaut $A = \frac{5\times a^2}{2}\times\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$, a étant un côté du décagone.

Plusieurs constructions possibles pour un décagone régulier

Construction très simple d'un décagone régulier

Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :

• Tracer un cercle Γ de centre O.

• Soit A un point quelconque appartenant à Γ.

• Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon à ce que l'angle $\widehat {AOB}$ mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un rapporteur, ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).

• Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restant.

• Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un rectangle d'or

• Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].

• Soit H le milieu de [OA]. La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en C et en un second point D.

• Le cercle Γ' de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E.

• Les distances OA et AE représentent la largeur et la longueur d'un rectangle d'or.

• Il faut maintenant reporter la longueur OE sur le cercle Γ à partir du point B pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.

• Il suffit enfin de relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un pentagone

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier :

• Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone ;
• Trouver le point milieu de chaque côté du pentagone ;
• Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle ;
• Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

Autre construction exacte d'un décagone régulier

• Tracer un cercle Γ de centre O, puis deux rayons perpendiculaires entre eux en O. On obtient alors les segments [OA] et [OB], A et B appartenant à Γ.

• Soit H le milieu de [OB].

• Construire le cercle Γ' de centre H et de rayon HO. Le segment [AH] coupe Γ' en C.

• Le cercle de centre A et de rayon AC coupe le cercle Γ en M et N. [MA] est un des côtés du décagone régulier inscrit dans le cercle Γ.

• Il suffit alors de reporter la longueur MA sur le cercle Γ à partir de M.

• Il ne reste plus qu'à relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Liens externes

• Animation pour la construction simple d'un pentagone régulier avec un rapporteur

• Animation pour la dernière construction d'un pentagone régulier

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