Dynamique de rotation

Dans un système matériel, d'après la loi des actions mutuelles (autrefois action et réaction) de Newton (cf lois du mouvement de Newton, énoncées en 1687), le torseur des forces intérieures au système est nul. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit donc :

Torseur dynamique = Torseur des forces extérieures

Ces 6 équations se divisent en 2 groupes de 3 équations :

• le principe fondamental de la dynamique de translation : $\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum{\vec{F}}$

• le principe fondamental de la dynamique de rotation : $\frac {d\overrightarrow{L_{O}}}{dt} = \sum{\overrightarrow{M_{O}}}$

(somme des moments des forces extérieures pris par rapport au point O).

Ici, ΣF est somme des forces extérieures, p est la quantité de mouvement, O est un point fixe du référentiel galiléen. L_O est le moment cinétique du système pris par rapport à O. Sa dérivée temporelle s'appelle le moment dynamique M_O, somme des moments des forces extérieures réduites au point O.

Si le référentiel n'est pas galiléen, il convient simplement de rajouter le torseur des forces d'inertie d'entraînement et le torseur des forces d'inertie de Coriolis.

Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Soit ( O, k) cet axe fixe. Soit θ, l'angle de rotation du solide prise par rapport à une direction fixe (disons (O,i)).

L'analyse des forces est : forces extérieures appliquées au solide + forces de réaction d'axe (inconnues a priori, mais bloquant la position du point O qui reste immobile, et dont la projection du moment sur l'axe est nulle) :

Alors l'équation du principe fondamental de la rotation projetée sur l'axe donne : $\frac{k \cdot d \overrightarrow{L_{O}}}{dt} = k \cdot \overrightarrow{M_{O}}$.

Formulation bac +1

Or L(O) = I(O) k . ω , avec ω = dθ/dt, et I(O) l'opérateur linéaire d'inertie (ne pas s'affoler, on n'en aura pas besoin!)

La quantité scalaire k.I(O)k s'appelle inertie à la rotation (anciennement moment d'inertie de rotation), souvent nommée J (en ex-math_elem; ou C dans les cours de S.I. (sciences industrielles)).

Le PFDR (le principe fondamental de la dynamique de rotation) s'écrit alors :

J dω/dt = Mz

ce qui est l'exacte transposition à la rotation du PFDT (principe fondamental de la dynamique de translation sur un axe) :

m d v/ dt = F

De ce fait, tout ce qui a été dit sur le problème précédent est traduisible ; simplement l'inertie à la rotation J vient remplacer l'inertie à la translation m.

Formulation Bac

Soit à calculer k.L(O): le solide est formé de millions de points matériels M_i, de masse m_i, de projection sur l'axe H_i, décrivant lors de la rotation du solide des cercles de centre H_i, de rayon d_i = H_iM_i : chaque masse a donc un moment cinétique projeté sur l'axe égal à :

$m_id_i^2 \frac{d\theta}{dt}$ :

on appelle inertie à la rotation J la somme $\Sigma m_id_i^2$.

Le PFDR s'écrit alors :

J dω/dt = Mz ,

l'inertie à la rotation est en kg.m^2;et Mz en N.m

ce qui est l'exacte transposition à la rotation du PFDT (principe fondamental de la dynamique de translation sur un axe):

m d v/ dt = F

De ce fait , tout ce qui a été dit sur le problème précédent est « translatable »; simplement l'inertie à la rotation J vient remplacer l'inertie à la translation m.

Quelques cas classiques

Le cylindre de révolution creux : toute la masse est à la distance R de l'axe : J = M.R^2

Le barreau de révolution plein, de densité uniforme de rayon R : J =1/2 . M.R^2

La sphère creuse de rayon R : 2/3 M.R^2

La boule pleine de densité uniforme : 2/5 M.R^2

Ces calculs sont aisément faits (cf calculs d'inertie à la rotation)

Le théorème de Huygens

Historiquement, c'est un tour-de-force ! car Huygens n'avait à sa disposition que la loi de Torricelli (cf Histoire des sciences : pendule pesant) : Soit J° l'inertie de rotation du solide par rapport à son centre d'inertie G : l'inertie de rotation J par rapport à un axe parallèle, distant de d, vaut J = J° + M.d^2

Il est alors facile de calculer l'inertie de rotation J° d'un barreau de longueur 2a : J° = M a^2 /3, de longueur 2a et de largeur 2b : J° = M (a^2+b^2)/3.

Application classique : le pendule pesant

voir pendule pesant

Cas de la rotation d'un solide autour d'un axe de direction fixe

Dans ce cas , on peut montrer que le PFDT s'applique au point G (centre d'inertie) , affecté de la masse inerte totale du solide et le PFDR s'applique à l'axe ( G, k), avec l'inertie à la rotation J°.

Application : le cylindre qui roule sans glisser le long d'un plan incliné

Soit un plan incliné d'angle α.

Quand le cylindre ,de rayon R , de masse M, d'inertie à la rotation J°, roule sans glisser , il a parcouru 2πR en un tour et donc s= R.θ (relation géométrique)

Analyse des forces : à distance : le poids -mg k; l'action du plan sur le cylindre au point de contact C, décomposée en N normale au plan et T tangentielle, comptée algébriquement vers le haut (et dessinée comme telle, cela visualise mieux le problème).

Application du PFDT : M $\frac{dv}{dt}$ = Mg.sinα - T

et Mg cosα = N

Application du PFDR : J° $\frac{d\omega}{dt}$ = 0 +0 +T.R

qui s'écrit compte-tenu de la relation géométrique :

J°/R^2 dv/dt = T

En éliminant T , on obtient :

dv/dt = cste = g.sinα. (M/M') avec M' = M + J°/R^2.

Puis on peut en tirer T = M//(J°/R^2) g.sinα , qui doit être inférieure à k N (k = coefficient de Coulomb), pour qu'il n'y ait effectivement pas de glissement.

Discussion : un cylindre creux descend plus doucement qu'un barreau plein , ce qui souvent fait réfléchir les élèves, alors que cela est indépendant de la masse volumique et de la masse ! seule la géométrie compte.

Il est alors facile de fabriquer (ce qui ravit les élèves) une bobine de magnétophone plombée sur la jante: elle n'arrive à descendre que très doucement, car on a démesurément augmenté M'.

Inversement, la bobine roulant sur sa jante et avec un moyeu plombé, roule quasiment avec M' = M.

Il reste le problème du tank à chenille de masse m, la chenille de masse M d'entre-axes = a et de rayon R, et les élèves ont compris.

Cas de la rotation d'un solide autour de son centre d'inertie G

ébauche : +tard svp

c'est le problème d'Euler

Problème de la toupie pesante de Lagrange

Cette fois la toupie repose sur sa pointe O fixe, dans un champ de pesanteur -g k

Cas plus difficiles

problèmes de gyroscopie

On revient à des problèmes plus aisés ; mais regroupons ces cas :

voir gyroscope

Ces cas sont magnifiquement décrits par les ouvrages de RADIX , exceptionnels de clarté.

Autres cas

Évidemment, seul a été traité ici le problème des systèmes solides; mais bien sûr le PFDR peut s'appliquer à n'importe quel système, y compris des systèmes ouverts comme les pales à réaction des hélicoptères ou les roues des aubes de turbine à réaction d'augets. Et aussi aux galaxies ou en hydrodynamique (moment cinétique en hydrodynamique, vortex,...)