Distance (mathématiques)

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En mathématiques, une distance est une application qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points. C'est par l'analyse des principales propriétés de la distance usuelle que Fréchet introduit la notion d'espace métrique, développée ensuite par Hausdorff. Elle introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres^[1].

À partir de la définition d'une distance, vue comme une application satisfaisant à certains axiomes, d'autres notions de distance peuvent être définies, comme par exemple la distance entre deux parties, ou la distance d'un point à une partie, sans que ces dernières répondent à la définition première d'une distance.

Distance sur un ensemble

Définition

En mathématiques, on appelle distance sur un ensemble E une application $d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}^+$ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	$\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)$
séparation	$\forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
inégalité triangulaire	$\forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.

Remarque

Dans la définition d'une distance, on demande généralement que l'ensemble d'arrivée soit $\mathbb{R}^+$ ; on peut se contenter de supposer que c'est $\mathbb{R}$ et invoquer la suite d'inégalités valable pour tout couple (x,y) de réels :

$0 = d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x) = 2d(x,y)$

en utilisant respectivement la séparation, l'inégalité triangulaire puis la symétrie.

Propriété : Ultramétrie

Article détaillé : Distance ultramétrique.

La distance est dite ultramétrique si de plus :

Nom	Propriété
Ultramétrie	$\forall x,y,z\in \mathrm{E} : d(x,z)\leq \max( d(x,y), d(y,z) )$

Un exemple de telle distance intervient de façon cruciale dans la théorie des valuations p-adiques. L'interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire dans un espace ultramétrique amène à dire que tous les triangles sont isocèles.

Distance algébrique

Soit deux points A et B d'un espace affine par lesquels passe une droite orientée (une droite munie d'un sens, c'est-à-dire engendrée par un vecteur $\vec{v}$ non-nul). On appelle distance algébrique de A vers B le réel tel que :

• sa valeur absolue soit la distance (définie ci-dessus) entre A et B
• si la valeur est non nulle :
  • le réel soit positif dans le cas où le vecteur $\vec{AB}$ est de même sens que $\vec{v}$, c'est-à-dire égal à $k\vec{v}$, avec k > 0,
  • négatif sinon.

On peut démontrer que la distance algébrique de A vers B (notée d_a(A,B)) vaut :

$d_a(\mathrm{A}, \mathrm{B}) = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$

Attention, la distance algébrique n'est pas une distance, puisqu'elle est non-symétrique :

d_a(A,B) = − d_a(B,A)

Distance entre deux ensembles

Soient E₁ et E₂ deux parties d'un espace métrique muni d'une distance d, on définit la distance entre ces deux ensembles comme :

$d(\mathrm{E}_1, \mathrm{E}_2) = \inf\{ d(x,y)\ /\ (x,y) \in \mathrm{E}_1 \times \mathrm{E}_2\}$

N.B.

Cette « distance » n'est pas une distance sur l'ensemble des parties de E au sens des axiomes définis plus haut. En particulier si la distance entre deux ensembles est nulle, on ne peut pas en déduire que ces ensembles sont égaux.

Néanmoins, il est possible de définir une vraie distance entre les parties compactes d'un espace métrique. Pour cela, voir : distance de Hausdorff.

Distance d'un point à une partie

On peut particulariser la définition précédente en prenant l'un des deux ensembles réduit à un point.

Si A est une partie non-vide d'un espace métrique E, et si x est élément de E, on définit la distance de x à A par:

$d(x,\mathrm{A}) = \inf \{ d(x,y), y \in \mathrm{A} \}$.

C'est^[2] le rayon de la plus grande boule ouverte de centre x qui ne rencontre pas A.

On prendra garde au fait que d(x,A)=0 n'implique pas en général que x soit élément de A. Par exemple, dans ℝ muni de la valeur absolue, la distance de 0 à l'intervalle ouvert ]0,1[ est nulle, ou la distance de tout réel à l'ensemble des rationnels est nulle également.

On peut démontrer^[3] plus précisément que la distance de x à A est nulle si et seulement si x est un point adhérent à A (autrement dit : l'implication précédente est vraie si et seulement si A est fermé). Plus généralement, la distance de x à A est égale à la distance de x à l'adhérence de A.

L'application de E dans ℝ qui à tout élément x de E associe d(x,A) vérifie l'inégalité triangulaire :

$\forall x,y \in \mathrm{E}, |d(x,\mathrm{A})-d(y,\mathrm{A})| \le d(x,y)$.

C'est donc une application continue, puisque 1-lipschitzienne.

Distance sur des espaces vectoriels

Distance de Manhattan (chemins rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert

Dans un espace vectoriel normé $(\mathrm{E},\|\cdot\|)$, on peut toujours définir de manière canonique une distance d à partir de la norme. En effet, il suffit de poser : $\forall (x,y) \in \mathrm{E} \times \mathrm{E},\ d(x,y) = \|y-x\|$

En particulier, dans $\mathbb{R}^n$, on peut définir de plusieurs manières la distances entre 2 points, bien qu'elle soit généralement donnée par la distance euclidienne (ou 2-distance). Soit deux points de E, (x₁, x₂, …,x_n) et (y₁, y₂, …,y_n), on exprime les différentes distances ainsi :

Nom	Paramètre	Fonction
distance de Manhattan	1-distance	$\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$
distance euclidienne	2-distance	$\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2}$
distance de Minkowski	p-distance	$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}$
distance de Tchebychev	∞-distance	$\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p} = \sup_{1 \leq i \leq n}{|x_i-y_i|}$

La 2-distance permet de généraliser l'application du théorème de Pythagore à un espace de dimension n. C'est la distance la plus intuitive.

La p-distance est rarement utilisée en dehors des cas p = 1, 2 ou ∞. La 1-distance et l'∞-distance présentent la particularité amusante de permettre la définition en toute rigueur de sphères carrées (voir oxymore).

Distance sur une sphère

• Voir : Distance du grand cercle

Distances entre deux permutations

Il est également possible de définir des distances entre des permutations. L'exemple suivant est très utilisé dans le réarrangement de génomes. Soit S un ensemble de permutations modélisant diverses opérations; alors la distance entre deux permutations π et σ est la longueur d'une séquence minimale formée du produit d'éléments de S telle que cette séquence transforme π en σ.

Ces distances peuvent également servir à mesurer, de diverses manières, le désordre présent dans une séquence. On utilise alors ces mesures pour analyser les performances de divers algorithmes de tri, ou pour construire de nouveaux algorithmes de tri qui effectuent un nombre de comparaisons optimal par rapport à la mesure de désordre choisie. L'algorithme de Levenshtein mesure une telle similarité.

Voir aussi

• Distance angulaire
• Distance entre deux points sur le plan cartésien
• Distance focale
• Distance zénithale
• Distance d'un point à un plan
• Distance d'un point à une droite
• Espace vectoriel normé et norme

Notes et références

1. ↑ Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p.651
2. ↑ Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 653
3. ↑ E. Ramis, C. Deschamps, J.Odoux, Mathématiques spéciales, T.3, topologie et éléments d'analyse, éd. Masson, Paris, 1976, p. 49