Dimension de Minkowski

Dimension de Minkowski–Bouligand

En géométrie fractale, la dimension de Minkowski–Bouligand, également appelée dimension de Minkowski ou dimension box-counting, est une manière de déterminer la dimension fractale d'un ensemble S dans un Espace euclidien Rⁿ, ou, plus généralement, un espace métrique (X,d).

Pour calculer cette dimension pour une fractale S, placer cette fractale dans un réseau carré et compter le nombre le cases nécessaires pour recouvrir l'ensemble. La dimension de Minskowski est calculée en observant comment ce nombre de cases évolue à mesure que le réseau s'affine à l'infini.

Supposons que N(ε) soit le nombre de cases de côté ε nécessaires pour recouvrir l'ensemble. Alors la dimension de Minkowski est définie par:

$\dim_{\rm box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}$

Si la limite n'existe pas, alors on parle de dimension supérieure pour la limite supérieure et dimension inférieure pour la limite inférieure. En d'autres termes la dimension de Minkowski n'est bien définie que si ces deux valeurs sont égales. La dimension supérieure est parfois appelée dimension d'entropie, dimension de Kolmogorov ou notée upper box. La limite inférieure est parfois notéelower box.

Les deux sont fortement liées à la dimension de Hausdorff. Dans certains cas, ces trois valeurs sont différentes (voir plus bas pour plus de détails).

Autre définition

La dimension de Minkowski-Bouligand est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors,

$\dim_{\rm box}(S) = \frac{\ln(N(r,\rho))}{\ln\left (\frac{r}{\rho}\right )}$,

où r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon ρ. N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque qui recouvre cette figure.

Propriétés

Les deux dimensions sont finiment additives, c'est-à-dire que si { A₁, .... A_n } est une collection finie d'ensembles, alors

$\dim (A_1 \cup \dotsb \cup A_n) = \max \{ \dim A_1 ,\dots, \dim A_n \}$

Toutefois, cette propriété ne vaut pas pour une collection infinie d'ensembles. Par exemple, la dimension d'un point vaut 0. Mais la dimension de Minkowski des nombres rationnels sur l'intervalle [0, 1] a pour valeur 1.

Liens avec la dimension de Hausdorff

Les dimensions de Minkowski et de Hausdorff sont égales pour nombre d'ensembles fractals, ceci est notamment conjecturé (Schroeder,1991) pour les ensembles fractals strictement auto-similaires. Par exemple les dimensions de Hausdorff et de Minkowski de l'ensemble de Cantor sont égales à log(2) / log(3).

La dimension de Hausdorff et la dimension de Minkowski sont liées par l'inégalité suivante :

$\dim_\operatorname{Haus} \leq \dim_\operatorname{lower box} \leq \dim_\operatorname{upper box}$

En général les inégalités sont strictes. La dimension de Minkowski supérieure peut être plus grande que la dimension inférieure si l'ensemble fractal a un comportement différent à différentes échelles. par exemple, prenons l'intervalle [0, 1], and examinons l'ensemble des nombres satisfaisant la condition suivante:

pour tout n, toutes les décimales entre la 2²ⁿ-eme décimale et la (2²ⁿ⁺¹ − 1)ème décimale vallent zéro.

les décimales entre la 2²ⁿ⁺¹ et 2²ⁿ⁺² − 1 peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Cette fractale a pour dimension supérieure 2/3 et pour dimension inférieure 1/3, un résultat qui peut être vérifé aisément en calculant N(ε) pour $\varepsilon=10^{-2^n}$ et remarquant que leur valeurs se comportent différemment pour n even and odd. La Dimension de Hausdorff, elle, pour le même ensemble, vaut 0.

Autre exemple : l'ensemble des nombres rationnels $\scriptstyle{\mathbb{Q}}$, un ensemble dénombrable avec $\textstyle{\dim_\operatorname{Haus} = 0}$, a pour dimension de Minkowski $\textstyle{\dim_\operatorname{box} = 1}$ parce que sa clôture, $\scriptstyle{\mathbb{R}}$, a pour dimension 1.

La dimension de Minkowski manque également de propriétés de stabilité que l'on attendrait d'une dimension. Par exemple, on attendrait que l'ajout d'un ensemble dénombrable n'aurait aucun effet sur la valeur de la dimension. Cette propriété ne fonctionne pas pour la dimension de Minkowski. Ainsi :

$\dim_\operatorname{box} \left\{0,1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}.$

Voir aussi

• Dimension de Hausdorff
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes

• La dimension de Minkowski-Bouligand sur Mathword

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