Dimension De Kolmogorov

Dimension de Kolmogorov

La dimension de Kolmogorov est l'échelle spatiale à partir de laquelle la viscosité permet de dissiper l'énergie cinétique d'un écoulement.

Observation

Dans un écoulement turbulent, on peut observer une cascade des tailles caractéristiques locales : des tourbillons de tailles différentes se superposent en un point de l'espace. La diminution des tailles des tourbillons s'effectue localement. En zoomant sur un morceau d'écoulement, on peut observer une structure fractale des tailles de ces derniers.

Dissipation de l'énergie

L'énergie initiale contenue dans un écoulement doit se dissiper pour se minimiser et rejoindre celle de son environnement.

Pour se faire, un écoulement turbulent peut avoir recours à la diffusion de la quantité de mouvement. Néanmoins ce phénomène est lent. Un autre phénomène plus rapide va s'opérer : la dissipation par frottement grâce à la viscosité.

Rôle des tailles de tourbillons

A l'instant initial, la viscosité n'est pas prépondérante car le nombre de Reynolds est élevé (écoulement turbulent).

Le nombre de Reynolds est :

$Re = \frac{ \rho V L}{ \eta}$

On remarque que si la taille caractéristique L de l'écoulement (à vitesse et viscosité constantes) diminue le nombre de Reynolds tends vers 0 et la viscosité devient prépondérante.

Dimension de Kolmogorov

La dimension de Kolmogorov est l'échelle spatiale à partir de laquelle l'écoulement devient visqueux (Re=1) et permet de dissiper l'énergie cinétique de l'écoulement.

$L\simeq \frac{\eta}{\rho V}$

Elle correspond à la taille des petits tourbillons qui incarnent ce phénomène.

Il n'y a pas de tourbillons plus petits, car cette échelle est la limite de l'écoulement étudié, là où l'énergie initialement donnée au fluide se dissipe.

Ce processus appelé cascade d'énergie : la division des grands tourbillons en tourbillons plus petits permet un transfert d'énergie des grandes échelles vers les petites échelles. Ce processus est limité par l'effet de la dissipation moléculaire, qui empêche les variations de vitesse trop importantes. En pratique, ce transfert d'énergie n'est pas à sens unique, le phénomène d'appariement tourbillonnaire (en anglais backscatter) permettant le transfert ponctuel de petites structures tourbillonnaires (qui fusionnent) vers une ou des plus grosses.

Kolmogorov, en 1941, a émis l'hypothèse que cette cascade était auto-similaire : les tourbillons se divisent tous de la même manière quelle que soit leur échelle, tant qu'elle n'est ni trop petite (sinon il faut tenir compte de la viscosité) ni trop grande (les grands tourbillons dépendent de la géométrie de l'écoulement). C'est ce qu'on appelle la zone inertielle, et par des arguments d'analyse dimensionnelle, il a exprimé une loi (loi en -5/3) qui caractérise l'auto-similarité de la turbulence (un peu comme une courbe fractale, quand on "zoome" sur une turbulence, on ne peut pas savoir à quelle échelle on se trouve).

Applications

Certaines petites souffleries ont une grille en entrée. Cela permet de ne pas "aspirer" de gros tourbillons et de faire entrer directement des petits. Ainsi on se rapproche bien plus de vite de la dimension de Kolmogorov et on obtient plus vite un écoulement laminaire, nécessaire aux observations.

La fumée recrachée d'une cigarette permet d'observer ce phénomène : les motifs dessinés par la fumée deviennent rapidement plus petits.

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