Dilatation

Dilatation thermique

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La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la pression.

Coefficients de dilatation thermique α

Formules générales : cas isotrope

On peut calculer pour tous les matériaux isotropes la variation de longueur et donc de volume en fonction de la variation de température :

$\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T$

Avec :

• $\Delta L,\$ la variation de longueur en mètre (m) ;
• $\alpha,\$ le coefficient de dilatation linéaire en kelvin puissance moins un (K^-1) ;
• $L_0,\$ la longueur initiale en mètre (m) ;
• $\Delta T = T - T_0,\$ la variation de température en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C).

Remarque : puisqu'on utilise une variation (une différence de température) la différence d'origine entre kelvin et degré Celsius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.

On peut aussi directement calculer la longueur en fonction de la température :

$L(T) = L_0 + \Delta L = L_0 \cdot (1 + \alpha \cdot (T - T_0))$

Avec :

• $L(T),\$ la longueur en mètre (m) en fonction de la température ;
• $T,\$ la température considérée en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C) ;
• $T_0,\$ la température initiale en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C).

Application

Soit un rail en acier de 30 m en hiver à -20 °C ; en été, la température est de 40 °C.
Le rail subit donc une variation de température $\Delta T =60 K,\$ sa variation de longueur sera :

$\Delta L = \alpha_{acier} \cdot L_0 \cdot \Delta T = 12 \cdot 10^{-6} \times 30 \times 60 = 2,16\cdot 10^{-2} m$

Ainsi le rail s'allonge de 21,6 mm, sa longueur en été est de 30,0216 m.

Tenseur de dilatation thermique

Les matériaux cristallins non cubiques présentent une dilatation thermique anisotrope : on n'observe pas le même coefficient de dilatation $\alpha\,$ dans toutes les directions. Pour cette raison, on utilise un tenseur symétrique d'ordre 2 pour décrire la dilatation dans les matériaux anisotropes :

$\begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21}=\alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31}=\alpha_{13} & \alpha_{32}=\alpha_{23} & \alpha_{33} \end{bmatrix}$

Ainsi, dans le cas général d'un matériau triclinique, six coefficients de dilatation thermique sont nécessaires. Ces coefficients se rapportant à un repère orthogonal, les coefficients de dilatation n'ont pas forcément de rapport direct avec les axes cristallographiques du matériau. En effet, les valeurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 forment toujours (dans le cas où les valeurs propres sont positives) une ellipsoide de révolution, dont les axes sont perpendiculaires les uns aux autres : on dit qu'un tenseur d'ordre 2 possède toujours au moins la symétrie ponctuelle orthorhombique maximale $\frac{2}{m} \frac{2}{m} \frac{2}{m}$.

Pour un cristal orthorhombique par exemple, où $\alpha_{12}=\alpha_{13}=\alpha_{23}=0,\,$ le tenseur de dilatation est diagonal et $\alpha_{11},\,$ $\alpha_{22}\,$ et $\alpha_{33}\,$ décrivent la dilatation le long des trois directions cristallographiques $a,\,$ $b\,$ et $c\,$ du matériau. Par contre, dans le système monoclinique, $\alpha_{13}\,$ est non nul : alors que $\alpha_{22}\,$ représente la dilatation thermique le long de $b,\,$ la relation entre $\alpha_{11},\,$ $\alpha_{33},\,$ $\alpha_{13}\,$ et les paramètres de maille $a,\,$ $c,\,$ $\beta\,$ n'est pas aussi triviale. Par convention, le repère orthogonal $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ choisi pour décrire la dilatation thermique dans les matériaux monocliniques est tel que $\vec{e}_2$ est parallèle à $\vec{b},$ axe de symétrie du cristal, $\vec{e}_3$ est parallèle à $\vec{c}$ et $\vec{e}_1$ est parallèle au vecteur du réseau réciproque $\vec{a}^{\,*}=\frac{\vec{b}\wedge\vec{c}}{V}$ (V étant le volume de la maille), qui forme par définition un trièdre direct avec $\vec{b}$ et $\vec{c}$ : $\alpha_{33}\,$ représente la dilatation thermique le long de $\vec{c},$ alors que $\alpha_{11}\,$ représente la dilatation le long de $\vec{a}^{\,*}\ne\vec{a}$.

Les valeurs propres du tenseur de dilatation thermique, ou coefficients de dilatation linéaires principaux $\alpha_1\,$, $\alpha_2\,$ et $\alpha_3\,$, permettent aussi d'obtenir le coefficient de dilatation volumique, trace du tenseur : $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha_{33},\,$ puisque la trace d'une matrice carré est invariante par changement de base.

Mesure des coefficients de dilatation linéaires

Dans le cas des matériaux cristallins, la dilatation thermique se mesure de façon précise par diffraction des rayons X. Une méthode couramment utilisée consiste à mesurer les paramètres de maille du cristal pour différentes températures et d'en déduire les coefficients de dilatation linéaires. Cependant, le calcul intermédiaire des paramètres de maille introduit des erreurs supplémentaires dans le calcul des coefficients et il est préférable de les obtenir à partir de la variation en température de l'angle de diffraction $\theta\,$. Plusieurs programmes fournissent les composantes du tenseur de dilatation à partir des variations de $\theta\,$^[1].

Coefficients de dilatation linéaires pour les principaux matériaux

Les coefficients donnés ci-dessous sont valables pour des températures comprises entre 0 °C et 100 °C. En réalité ces coefficients dépendent de la température, la loi d'allongement n'est donc pas linéaire pour des différences de température très élevées.

substances	coefficient de dilatation linéaire 1/K
acier	12,0×10−6
aluminium	23,8×10−6
argent	19,7×10−6
bismuth	13,5×10−6
bronze	17,5×10−6
cadmium	30,0×10−6
constantan	15,2×10−6
cuivre	16,5×10−6
étain	23,0×10−6
fonte	10,5×10−6
invar (36 %Ni + 64 %Fe)	1,5×10−6
laiton	18,5×10−6
maillechort	18,0×10−6

substances	coefficient de dilatation linéaire 1/K
molybdène	5,2×10−6
nickel	13,0×10−6
nylon	30×10−6
or	14,2×10−6
platine	9,0×10−6
plomb	29,0×10−6
porcelaine	4,0×10−6
quartz	0,5×10−6
rilsan	150×10−6
tungstène	4,5×10−6
verre	9×10−6
zinc	30,0×10−6

Anomalies

L'eau présente un comportement particulier entre 0 °C et + 4 °C : lorsque la température augmente dans cet intervalle l'eau se contracte et son volume massique diminue, ce qui correspond à un coefficient de dilatation thermique négatif.

Problèmes dus à la dilatation

Joint de dilatation sur un pont

La dilatation des solides est compensée sur les ponts par des "rainures" appelées joints de dilatation : avec les différences d'exposition au soleil et l'échauffement de l'atmosphère, un solide de plusieurs dizaines de mètres peut s'allonger de quelques centimètres. Sans l'espace laissé par les joints de dilatation, le pont subirait des contraintes internes supplémentaires.

• La dilatation d'un liquide est souvent négligeable par rapport à son ébullition, mais peut expliquer certains phénomènes, notamment avec des récipients rigides.
  • Elle n'est pas la cause du débordement du lait que l'on chauffe trop, qui est un phénomène propre aux protéines bouillies.

• Le bris des verres chauffés brusquement s'explique par la dilatation.

• Blocage de roue. Si une roue est d'une matière différente de celle de son axe, elle pourra se bloquer à certaines températures si les tolérances mécaniques ont été mal calculées.

Applications de la dilatation

• Thermomètre bi-lame
• Thermomètre de Galilée
• Dilatomètre

Personnalités ayant travaillé sur la dilatation

• Louis Joseph Gay-Lussac découvrit la loi de dilatation des gaz
• Pierre Louis Dulong,
• Charles Edouard Guillaume, prix Nobel de physique (1920), découvrit des alliages ayant de faibles coefficients de dilatation,
• Willem Jacob 's Gravesande ayant mis au point l'anneau du même nom^[2].

Voir aussi

Voir « dilatation thermique » sur le Wiktionnaire.

• Vasodilatation
• Dilatation des pupilles
• Dilatation du temps
• Dilatation de l'espace en géométrie
• Retrait plastique

Références

1. ↑ Jessen, S.M. & Küppers, H. (1991) The Precision of Thermal-Expansion Tensors of Triclinic and Monoclinic Crystals, J. Appl. Cryst. 24, 239-242..
2. ↑ L'anneau de S'Gravesande - Yahoo! Video

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