Corps De Nombres


Corps De Nombres

Corps de nombres

En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l'élément primitif (ou théorème de l'extension monogène), tout corps de nombres peut s'écrire sous la forme \mathbb{Q}(\alpha)α est un élément de K algébrique sur \mathbb{Q}(\alpha).

Tout corps de nombres K peut ainsi être plongé comme un sous-corps de \mathbb{C}: il suffit d'envoyer α sur un nombre complexe ayant même polynôme minimal. Un tel élément existe, car tout polynôme a une racine dans \mathbb{C}; autrement dit \mathbb{C} est algébriquement clos. Réciproquement, le corps \mathbb{Q}(\alpha) est un corps de nombre pour tout nombre complexe α nombre algébrique sur \mathbb{Q}.

En outre, tous les éléments de K sont alors des nombres algébriques, dont le degré divise la dimension de K en tant qu'espace vectoriel sur \mathbb{Q}. Réciproquement les sous-corps de \mathbb{C} qui sont des corps de nombres sont ceux qui sont engendrés par un nombre fini de nombres algébriques.

En arithmétique les corps de nombres ont des propriétés très semblables aux corps de fonctions sur des courbes algébriques sur des corps finis.

Attention : Le corps des nombres algébrique n’est pas un corps de nombres algébriques. En effet le corps des nombres algébrique n’est pas une extension finie du corps \mathbb{Q}. Mais en revanche les éléments d’un corps de nombres algébriques sont nécessairement des nombres algébriques.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Corps de nombres ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Corps De Nombres de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Corps de nombres —  Ne pas confondre avec la notion d ensemble de nombres. En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie du corps des nombres rationnels. En particulier, c est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des… …   Wikipédia en Français

  • Corps De Nombres Algébriques — Corps de nombres En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l élément primitif (ou théorème de l extension monogène), tout corps de nombres peut s écrire sous la …   Wikipédia en Français

  • Corps de nombres algebriques — Corps de nombres En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l élément primitif (ou théorème de l extension monogène), tout corps de nombres peut s écrire sous la …   Wikipédia en Français

  • Corps de nombres algébriques — Corps de nombres En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l élément primitif (ou théorème de l extension monogène), tout corps de nombres peut s écrire sous la …   Wikipédia en Français

  • Corps des nombres algébriques — Corps de nombres En mathématiques, un corps de nombres est une extension finie et algébrique du corps des nombres rationnels. Par le théorème de l élément primitif (ou théorème de l extension monogène), tout corps de nombres peut s écrire sous la …   Wikipédia en Français

  • Corps De Nombres P-adiques — En théorie algébrique des nombres, les corps de nombres p adiques sont des exemples classiques de corps locaux : ce sont les extensions finies du corps des nombres p adiques, pour p un nombre premier ; de même qu un corps de nombres… …   Wikipédia en Français

  • Corps de nombres totalement réel — Corps totalement réel En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l ensemble des nombres complexes, l image se trouve dans l ensemble des nombres réels. De manière… …   Wikipédia en Français

  • Corps de nombres p-adiques — Pour le corps des nombres p adiques, voir nombre p adique. En théorie algébrique des nombres, pour un nombre premier p, un corps p adique[1], ou corps de nombres p adiques[réf. souhaitée] est une …   Wikipédia en Français

  • Algorithme De Factorisation Par Crible Sur Les Corps De Nombres Généralisé — En mathématiques, le crible général de corps de nombres est l algorithme, fondé sur l arithmétique modulaire, pour la décomposition en produit de facteurs premiers le plus efficace connu. Il utilise étapes pour factoriser un nombre entier n (voir …   Wikipédia en Français

  • Algorithme de factorisation par crible sur les corps de nombres generalise — Algorithme de factorisation par crible sur les corps de nombres généralisé En mathématiques, le crible général de corps de nombres est l algorithme, fondé sur l arithmétique modulaire, pour la décomposition en produit de facteurs premiers le plus …   Wikipédia en Français