Coordonnées Sphériques


Coordonnées Sphériques

Coordonnées sphériques

Un point repéré en coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques sont un système de coordonnées de l'espace qui généralise les coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles, le premier par rapport à un axe vertical et le deuxième par rapport à un axe horizontal. Ce système est d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude, et la longitude sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs systèmes de coordonnées célestes sphériques sont employés en astrométrie.

Sommaire

Histoire

Définition et propriétés élémentaires

Définition et notations

coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point dans un repère cartésien (O, x, y, z).

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point P sont définies par :

  • ρ est la distance du point P au pôle O ;
  • ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé zénith ou colatitude ;
  • θ est l'angle orienté formé par les demis-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.

Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et radians (0 et 360°)[1], pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ).

Ces notations sont les plus courantes en mathématiques ; en physique, les notations ϕ et θ sont généralement inversées,[1] conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie »[2] La distance au pôle est parfois notée r.[1]

Lien avec les coordonnées polaires

Article détaillé : coordonnées polaires.

Dans le plan vertical (O, z, OM), le système de coordonnées (φ, ρ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρ sinθ, φ) est aussi un système de coordonnées polaires.


Soit \overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP}

\phi = (\overrightarrow{OP},\overrightarrow{Oz})

P' le projeté de P sur le plan xOy

\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{r} \sin(\phi)

\theta = (\overrightarrow{OP'},\overrightarrow{Ox})

Les coordonnées cartésiennes du point P sont : 
\left\{
\begin{matrix}
 z &=& r \cos\phi&&\\
 x &=& OP' \cos\theta &=& r \sin\phi\cos\theta\\
 y &=& OP' \sin \theta &=& r \sin\phi\sin\theta
\end{matrix}
\right.

Base comobile

On définit la base orthonormée directe comobile (uρ, uϕ, uθ) pour tout point M comme suit :

  • uρ est un vecteur unitaire de même direction et sens que OM ;
  • uϕ est le vecteur unitaire du plan vertical (O, z, OM) directement orthogonal à OM ;
  • uθ est le vecteur unitaire normal au plan vertical qui complète en une base directe.

La direction de ces vecteurs est généralement résumée ainsi : uϕ pointe dans le sens des ϕ croissants, uθ des θ croissants.

Dans cette base comobile, la position du point M s'écrit de manière simple :

 \mathbf{OM} = \rho \mathbf{u}_\rho.

En physique, elle s'utilise pour exprimer les quantités cinématiques telles que vitesse et accélération.

Utilisation

Repérage géographique

Coordonnées géographiques φ (latitude) et λ (longitude).
Articles détaillés : coordonnées géographiques et géoïde.

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent les coordonnées h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques par :

 \begin{align}
h       &= \rho - \rho_\text{g}(l, \lambda),\\
l       &= 90^\text{o} - \phi,\\
\lambda &= \theta      \text{ si } \theta \le 180^\text{o}\\
        &= \theta-360   \text{ sinon},
\end{align}

ρg(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonnées célestes

Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.
Article détaillé : coordonnées célestes.

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la voûte céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, utilisé pour repérer les objets hors du système solaire, utilisent la déclinaison (correspond à l) et l'ascension droite (correspond à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Calculs

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans deux cas :

  • mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
  • mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb.

Exemple du pendule

Article détaillé : pendule.

Exemple de l'attraction coulombienne

Propriétés

Propriétés différentielles

Différentielles

Le volume infinitésimal s'écrit


  \text{d}^3 V = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\rho\text{d}\phi\text{d}\theta

et la surface à ρ constant est  \text{d}^2 S = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\phi\text{d}\theta.

Les vecteurs de la base comobile (\overrightarrow{u_\rho}, \overrightarrow{u_\phi}, \overrightarrow{u_\theta}) ont pour différentielles :

\begin{align}
  \text{d}\overrightarrow{u_\rho}   &= + \text{d}\phi\,\vec{u}_\phi
                            + \sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\
  \text{d}\overrightarrow{u_\phi}   &= -\text{d}\phi\,\vec{u}_\rho                            
                            + \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\
  \text{d}\overrightarrow{u_\theta} &=  -\sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\rho
                            - \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\phi.
\end{align}

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération s'en déduisent :

\begin{align}
  \overrightarrow{OM}      &= \rho\,\overrightarrow{u_\rho},\\
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \dot\rho\,\overrightarrow{u_\rho} + \rho\dot\phi\,\overrightarrow{u_\phi} + \rho\sin\phi\,\dot\theta\,\overrightarrow{u_\theta},\\
  \ddot{\overrightarrow{OM}} &= (\ddot\rho-\rho\dot\phi^2-\rho\dot\theta^2\sin^2\phi)\,\overrightarrow{u_\rho}
                   + (\rho\ddot\phi + 2\dot\rho\dot\phi - \rho\dot\theta^2\sin \phi\,\cos\phi) \,\overrightarrow{u_\phi}
                   + (\rho\ddot\theta\sin\phi + 2\dot\rho\dot\theta\sin\phi + 2\rho\dot\phi\dot\theta\cos \phi) \,\overrightarrow{u_\theta}.
\end{align}

Opérateurs différentiels

Article détaillé : nabla.

L'opérateur nabla, servant au calcul du gradient, de la divergence et du rotationnel s'écrit


  \overrightarrow{u_\nabla} =  \left(\frac\partial{\partial\rho}, \frac1\rho \frac\partial{\partial\phi}, \frac1{\rho\sin\phi} \frac\partial{\partial\theta}\right).

Le laplacien s'en déduit :


  \Delta = \frac1{\rho^2} \frac\partial{\partial\rho}\left(\rho^2\frac\partial{\partial\rho}\right)
           +\frac1{\rho^2\sin\phi} \frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\phi}\right)
           +\frac1{\rho^2\sin^2\phi} \frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.

Tenseurs usuels

Articles détaillés : tenseur métrique et symbole de Christoffel.

Le tenseur métrique s'écrit

g_{ij} = \left(\begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & \rho^2 & 0\\
  0 & 0 & \rho^2 \sin^2\phi
\end{matrix}\right)

et l'intervalle

\text{d}s^2 = c^2\text{d}t^2 - \text{d}\rho^2 - \rho^2\text{d}\phi^2 - \rho^2\sin^2\phi\,\text{d}\theta^2.

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

\begin{align}
\Gamma^{\rho}_{\phi\phi}                                    &= -\rho\\
\Gamma^{\rho}_{\theta\theta}                                &= -\rho \sin^2\phi\\
\Gamma^{\phi}_{\rho\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\rho}         &= \rho^{-1}\\
\Gamma^{\phi}_{\theta\theta}                                &= -\cos\phi\,\sin\phi\\
\Gamma^{\theta}_{\rho\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta\rho} &= \rho^{-1}\\
\Gamma^{\theta}_{\theta\phi} = \Gamma^{\theta}_{\phi\theta} &= \cot\phi
\end{align}

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ′, z) et sphériques, lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z) suivent les lois de transformations données ci-dessous.

Système de coordonnées Depuis les coordonnées sphériques Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes  \begin{align}
x &= \rho  \sin\phi  \cos\theta,\\
y &= \rho  \sin\phi  \sin\theta,\\
z &= \rho  \cos\phi.
\end{align}  \begin{align}
\rho   &= \sqrt{x^2+y^2+z^2},\\
\phi   &= \arccos (z/\rho)\\
\theta &= \begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y\geq0, \\[,5em] 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y < 0;\end{cases}
\end{align}
Coordonnées cylindriques  \begin{align}
r             &= \rho  \sin\phi,\\
\theta^\prime &= \theta,\\
z             &= \rho  \cos\phi.
\end{align}  \begin{align}
\rho         &= \sqrt{r^2+z^2},\\
\phi         &= \arctan(z/r),\\
\theta       &= \theta^\prime,
\end{align}

Dans le tableau ci-dessus arctan(y, x) est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

Généralisation

Article détaillé : Coordonnées hypersphériques.

Soit un espace vectoriel normé de dimension n finie. Pour un point x de cet espace, de coordonnées (x1, …, xn), on définit les coordonnées sphériques (r, ϕ1, …, ϕn-1) par

 \begin{align}
r   &= ||x||\\
x_1 &= r\cos\phi_1\\
x_2 &= r\sin\phi_1 \cos \phi_2\\
\cdots\\
x_{n-1} &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\
x_n     &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}
\end{align}

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier n = 3 et les polaires n = 2.

Sources

  1. a , b  et c Eric W. Weisstein, « Spherical Coordinates." » sur From MathWorld
  2. International Organization for Standardization, ISO Standards Handbook : Quantities and units., 3rd ed., Genève, 1993, 345 p., ISBN 92-67-10185-4
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