Coordonnees cylindriques


Coordonnees cylindriques

Coordonnées cylindriques

Un point repéré en coordonnées cylindriques

Le système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées qui étend le système de coordonnées polaires à deux dimensions en y ajoutant une troisième dimension qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires; de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions. La troisième coordonnée est souvent notée h ou z.

Les trois coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par:

 \begin{align}
x &= r  \cos\theta \\
y &= r  \sin\theta \\
z &= h
\end{align}
 \begin{align}
\\
\theta\in[0,2\pi]
\end{align}

Cinématique

Pour \overrightarrow {u_r} un vecteur radial et \overrightarrow {u_\theta} un vecteur orthoradial, les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération sont données par :

\begin{align}
  \overrightarrow{OM}      &= r\overrightarrow{u_r} + z\overrightarrow{u_z}\\
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \dot r\overrightarrow{u_r} + r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta} + \dot z\overrightarrow{u_z}\\
  \ddot{\overrightarrow{OM}} &= (\ddot r-r\dot\theta^2)\overrightarrow{u_r} + (r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\overrightarrow{u_\theta} + \ddot z\overrightarrow{u_z}\\
\end{align}

Il est à noter que l'on peut retrouver ces résultats :

\begin{align}        
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \frac {d\overrightarrow{OM}}{dt} = \frac {d(r\overrightarrow{u_r} + z\overrightarrow{u_z})}{dt} = \frac {d(r\overrightarrow{u_r})}{dt} + \frac {d(z\overrightarrow{u_z})}{dt}\\
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \frac {d(r)}{dt} \overrightarrow{u_r} + r \frac {d(\overrightarrow{u_r})}{dt} + \frac {d(z)}{dt} \overrightarrow{u_z}  + z \frac {d(\overrightarrow{u_z})}{dt} \\
  \frac {d(r)}{dt} &= \dot r \quad \frac {d(\overrightarrow{u_r})}{dt}= \dot\theta\overrightarrow{u_\theta} \quad \frac {d(z)}{dt}=\dot z \quad \frac {d(\overrightarrow{u_z})}{dt}=\overrightarrow{0}\\
\end{align}

On retrouve donc l'expression de \dot{\overrightarrow{OM}}

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