Convergence ponctuelle


Convergence ponctuelle

Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Sommaire

Définition

Convergence simple

  • Soient X\! et Y\,\! deux espaces topologiques, soit (f_{n})_{n} \,\! une suite de fonctions définies sur X\,\! à valeurs dans Y\,\!. On dit que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement si :
\forall x \in X, la suite (f_{n}(x))_{n}\,\! converge dans Y\,\!
  • Si l'application f: X\to Y est telle que \forall x \in X, \ f(x)=\lim_{n \rightarrow + \infty}f_{n}(x) on dit que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement vers la fonction f\,, ou que f est 'limite simple' de la suite (f_{n})_{n}\!.

Remarque

Si l'espace Y est supposé séparé, l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.

Il convient également de remarquer que la topologie de l'espace de départ X n'intervient pas du tout dans la définition : on peut donc se passer de structure topologique sur celui-ci, et définir cette notion pour tout ensemble X.

Topologie faible

Définition

Il existe une topologie associée à la convergence simple, on l'appelle en général topologie faible. Cette topologie est souvent définie à l'aide d'une base de voisinages. On la définit de la manière suivante:

Soit f\; une fonction de X\,\! dans Y\,\! deux espaces topologiques tel que Y\,\! soit séparé. Soit x\,\! un élément de X\,\! tel que f\; soit définie en x\,\!. On considère alors \mathcal V(f(x)) une base de voisinage de f(x)\,\! pour la topologie de Y\,\!. À chaque élément V_{f(x)}\; de \mathcal V(f(x)) on associe le sous ensemble W_{(f,x)}\; des fonctions \phi \; de X\,\! dans Y\,\! définies en x\,\! et tel que \phi (x) \; soit élément de V_{f(x)}\;. L'union de tous les ensembles de type W_{(f,x)}\; quand f\; parcourt l'ensemble des fonctions et x\,\! parcourt le domaine de définition de f\; forme une base de voisinage. La topologie associée est appelée la topologie faible.

Remarques

On peut démontrer que la convergence simple d'une suite de fonctions (f_n)_n\; est équivalent à la convergence pour la topologie faible de la suite.

Si X\,\! n'est pas un ensemble fini, alors il n'existe pas de distance associée à cette topologie. Nous savons en effet que tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. Cette topologie ne peut jamais être la topologie faible.

Propriétés

La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration découle directement des définitions. En revanche la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vrai au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Convergence simple dans un espace métrique

On suppose maintenant que Y\, est un espace métrique, c'est-à-dire que Y\, est muni d'une distance d \, et de la topologie qui lui est associée. On sait d'abord qu'un espace métrique est toujours séparé. On peut alors traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon »:

Une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, converge simplement sur A\, vers une fonction f\, si et seulement si :

\forall x \in A,\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon,x}, \forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon

Voir aussi


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