Convergence normale


Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si (fn) est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général fn converge normalement sur X s'il existe une suite de réels un tels que :

  1. pour tout n, | fn | est majorée par un sur X ;
  2. la série de terme général un converge.

En général, la convergence normale prend sens sur un espace topologique (par exemple, un espace métrique). Il est fréquent de la rencontrer dans un premier temps pour les fonctions d'une variable réelle ou complexe.

La convergence normale d'une série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier :

  • La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Espaces vectoriels normés

Dans un espace vectoriel normé, une série  \sum_{n\geqslant 0}x_n est dite normalement convergente si la série  \sum_{n\geqslant0}\|x_n\| est bornée (donc converge).

Exemple

La série de terme général f_n(x)=\frac{2x}{x^2-n^2} converge normalement sur tout compact de R \  Z.

\pi\cot(\pi x)=\frac{1}{x}+\sum_{n\in\mathbf{N}}\frac{2x}{x^2-n^2}[1].

Note

  1. (en) Reinhold Remmert (de), Theory of complex functions, Springer, 1991 (ISBN 9780387971957), p. 327

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