Contrainte holonome

En mécanique analytique, on dit qu'un système de N particules est soumis à une contrainte holonome s'il existe une équation algébrique caractérisant l'état du système : équation algébrique de plusieurs variables que sont les vecteurs coordonnées $\vec r_i$ des particules, pour $\scriptstyle i \in \{ 1,2,...,N \}$ ; contrainte que l'on écrit sous la forme $\ f \left( \vec r_1 , \vec r_2,..., \vec r_N , t\right) =0$. Si les contraintes sont modélisées par un système d'équations de ce type, on parle encore de contraintes holonomes.

Une contrainte qui ne peut pas s'écrire sous cette forme est dite non holonome.

Si l'équation de la contrainte holonome dépend du temps, $\frac{\partial f}{\partial t} \ne 0$, elle est dite rhéonome, si elle n'en dépend pas, $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$, elle est dite scléronome.

Mathématiquement, une contrainte holonome définit une variété fermée plongée dans l'espace $\textstyle \R^{3N}$ dans laquelle évolue le système de particules. La dimension de cette variété est le nombre de degrés de liberté du système et le nombre de coordonnées indépendantes à considérer pour le décrire. En général K contraintes holonomes enlèvent K degrés de liberté, mais, suivant les équations et leur indépendance, il peut en être autrement (on peut ramener K équations indépendantes à une seule équation si on le souhaite ; ce sujet dans toute sa généralité relève de la géométrie algébrique).

Exemple

La rigidité d'un corps supposé rigide est un ensemble de contraintes holonomes scléronomes : pour deux particules quelconques numérotées $\ i,j$, il existe une constante $\ C_{i,j}$ telle que l'on doit avoir $\| \vec r_i -\vec r_j \| = C_{i,j}$.

Coordonnées généralisées

Le système étudié peut être décrit par d'autres variables que les positions spatiales de ses N points : angles, positions relatives, etc. Dans ce cas, les nouvelles coordonnées utilisées sont appelées « coordonnées généralisées », elles sont souvent notées $\ \{q_1 , ... , q_{n} \}$ et sont au nombre de $\ n \le 3N$. On a $\vec r_i = \vec r_i \left( q_1 , ... , q_{n}, t \right)$, et la contrainte holonome peut alors s'écrire $\ f(q_1,q_2,...,q_{n},t)=0$. Le système des N points, évoluant dans l'espace de dimension 3, peut alors être considéré comme décrit dans un espace de dimension n.

• Un système de N corps ponctuels non soumis à une contrainte holonome a 3N degrés de liberté et nécessite donc 3N variables réelles indépendantes pour être décrit (par exemple : les 3N coordonnées des N corps).
• Un système de N corps ponctuels soumis à une contrainte holonome a 3N-K degrés de liberté et nécessite donc 3N-K variables réelles indépendantes pour être décrit : ce peut être des coordonnées spatiales de certains corps, ou d'autres données. On parle toujours de coordonnées généralisées.

Dans l'espace, un triangle est déterminé par trois sommets (donc 9 coordonnées) soumis à trois contraintes holonomes indépendantes (les 3 contraintes de longueurs), donc il y a 9-3 = 6 degrés de liberté. Dans l'espace un triangle est donc déterminé par 6 variables indépendantes (on peut choisir les 3 coordonnées d'un des sommets et 3 angles qui permettent de déterminer les directions de deux côtés). Comme la position de tout solide rigide est déterminée par trois de ses points non-alignés quelconques, donc elle est aussi déterminée par 6 variables indépendantes.

Déplacement virtuel, forces de contrainte et multiplicateurs de Lagrange

Un déplacement virtuel $\left( \delta q_1 , \delta q_2 , ... , \delta q_n \right)$ est un déplacement instantané et infinitésimal du système de telle sorte qu'il vérifie toujours ses contraintes. Pour une contrainte holonome, on doit donc avoir $\ f \left( q_1 + \delta q_1 , q_2 + \delta q_2 , ... , q_n + \delta q_n , t \right) = 0$, d'où, au premier ordre, $\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial q_i}.\delta q_i = 0$.

On peut justifier que le vecteur $\left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \right)_i$ est proportionnel à la force de contrainte généralisée, associée à la contrainte $\ f$, dont les n coordonnées sont $\ Z_j (q,t) = \sum_{i=1}^{N} \vec Z_i(\vec r ,t).\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}$ (proportionnalité justifiée par un raisonnement sur les degrés de liberté du système^[1]), le coefficient de proportionnalité étant nommé multiplicateur de Lagrange. En cas d'existence de K contraintes holonomes, on peut justifier de la même manière que la somme des forces de contraintes est une composition linéaires des vecteurs, indexés par k = 1,2,...,K, $\left( \frac{\partial f_k}{\partial q_i} \right)_i$, les coefficients étant nommés également multiplicateurs de Lagrange.

Exemples de contraintes non holonomes

• Un corps M ponctuel dont les mouvement sont limités à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon R vérifie l'inéquation $\scriptstyle OM \le R$, soit $\textstyle \| \vec r_M - \vec r_O \| \le R$, ce qui est une contrainte non-holonome.
• Une masse ponctuelle attachée à l'extrémité d'un ressort vérifie la contrainte non-holonome $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2 x = 0$, avec $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Notes et références

1. ↑ Chapitre I, Complément 1.2, p34-35 de Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, par Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages ISBN 2868835848.

Bibliographie

• Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages ISBN 2868835848.