Continuite uniforme


Continuite uniforme

Continuité uniforme

En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Sommaire

Définitions et exemples

Espace métrique

Article détaillé : Espace métrique.

Le contexte général de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, et f une application de E dans F.

L'application f est dite uniformément continue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

NB: La continuité « simple » de f s'écrit par comparaison :

\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in  E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!

Le terme uniforme signifie que le choix de η en fonction de ε ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur E.

Fonction de la variable réelle et à valeurs réelles

Si les espaces de départ et d'arrivée de la fonction f sont des intervalles de l'ensemble des nombres réels munis de la norme valeur absolue, la définition s'écrit :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!

Exemple et contre-exemple

Soit f1 la fonction qui, à tout réel positif associe sa racine carrée. L'application f1 est uniformément continue. En effet, soit ε un réel strictement positif. La fonction f1 est concave, la majoration suivante est donc vérifiée :

\forall x,y \in \R_+ \quad  |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}

Si η est égal au carré de ε la proposition suivante montre l'uniforme continuité recherchée :

\forall x,y \in \R_+ \quad |x-y|\leq\eta \Rightarrow |f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!

Soit f2 la fonction qui, à tout réel associe son carré. L'application f2 n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :

\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists  (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_2(x)-f_2(y)|>\varepsilon \,\!

Il suffit de choisir ε égal à un. Pour tout η strictement positif, soit x (resp. y) le réel égal à 1/η + η (resp. 1/η) Alors :

|x-y| \leq \eta \quad \text{et} |f_2(x)-f_2(y)|=\left|\left(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2\right)-\frac{1}{\eta^2}\right|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!

Ce qui termine la démonstration.

Remarque : La fonction racine carrée est une fonction 1/2-höldérienne. Plus généralement, pour tout 0<a\leq 1, une application a-höldérienne entre espaces métriques est uniformément continue.

Propriétés

Fonctions lipschitziennes

Soit I un intervalle quelconque sur les nombres réels. Toute fonction k-lipschitzienne f de I dans l'ensemble des réels est uniformément continue.

En particulier, si f est dérivable et de dérivée bornée sur I, alors f est uniformément continue. En effet, si k est nul la fonction est constante et toute valeur de η satisfait la condition, sinon, ε/k est une valeur satisfaisante pour η.

Théorème de Heine

Article détaillé : théorème de Heine.

Le théorème de Heine indique que toute fonction continue d'un espace métrique dans un espace métrique est uniformément continue si l'ensemble de départ est compact.

En particulier, toute fonction continue d'un segment de l'ensemble des réels dans un espace métrique est uniformément continue.

Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs dans un espace complet se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ.

Ce résultat découle du fait que l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy.

Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions comme l'intégrale ou l'exponentielle ou encore compléter des applications linéaires ou bilinéaires définies sur des espaces vectoriels normés.


Applications

Approximation uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier

Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] et soit ε un réel strictement positif. Alors il existe une fonction en escalier φ sur [a, b], telle que :

\forall x \in [a,b], |f(x) - \varphi(x)| < \varepsilon

On utilise pour cela le fait que f est uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles de longueur b - a/ n inférieure au η intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction φ valant f(a + k( b - a)/ n) sur l'intervalle [a + k(b - a)/ n, a + (k + 1)(b - a)/ n] convient.

Intégrale de Riemann

Article détaillé : Intégrale de Riemann.

Soit E l'espace vectoriel des fonctions bornées sur l'intervalle [a, b], muni de la norme de la convergence uniforme. Soit F le sous-espace des fonctions en escalier sur [a, b]. Il est aisé de définir l'intégrale I(φ) d'une telle fonction en escalier φ, au moyen d'une somme finie :

I(\varphi) =\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i) \varphi_i

Si φ est constante égale à φi sur l'intervalle ]ai, ai+1[, les ai constituant une subdivision de [a, b]. On montre alors que I est une fonction lipschitzienne sur F, donc uniformément continue, elle se prolonge à l'adhérence de F dans E. Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Approximation des fonctions continues par les polynômes

Article détaillé : Théorème de Stone-Weierstrass.

Soit f une fonction bornée sur [0, 1]. Considérons la suite de polynômes :

P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left({k \over n}\right) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}

Si f est continue en x, on montre que la suite (Pn(x)) converge vers f(x). Si f est continue sur [0, 1] et donc uniformément continue, on montre que la suite (Pn) converge uniformément vers f sur [0, 1]. Ce résultat constitue une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Espace vectoriel normé

Article détaillé : Espace vectoriel normé.

Soit E un espace vectoriel normé, il n'est pas nécessairement complet. Or la complétude se révèle une propriété importante pour l'étude d'espaces fonctionnels. Elle permet par exemple d'utiliser le théorème de Hahn-Banach ou de Banach-Steinhaus.

Il existe une technique permettant de compléter un espace métrique (cf Espace complet). Appliqué à E, il devient nécessaire de prolonger l'addition et la multiplication externe pour disposer d'un espace métrique complet, encore appelé espace de Banach. Des propriétés d'uniforme continuité sont utilisées dans ce contexte. Ces techniques restent valables pour un espace munis d'un produit scalaire.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Continuit%C3%A9 uniforme ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Continuite uniforme de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Continuité Uniforme — En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n est pas une notion… …   Wikipédia en Français

  • Continuité uniforme — En topologie, la continuité uniforme (ou l uniforme continuité) est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la… …   Wikipédia en Français

  • Uniforme continuité — Continuité uniforme En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n est pas… …   Wikipédia en Français

  • Continuite — Continuité En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la… …   Wikipédia en Français

  • continuité — [ kɔ̃tinɥite ] n. f. • v. 1380; de continu ♦ Caractère de ce qui est continu. ⇒ constance, enchaînement, permanence, persistance. La continuité d une action. Absence de rupture. Principe de la continuité de l État. Assurer la continuité d une… …   Encyclopédie Universelle

  • Continuité —  Pour la notion de continuité au cinéma, voir l article Script (cinéma) En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la… …   Wikipédia en Français

  • Prolongement par continuité — Continuité uniforme En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n est pas… …   Wikipédia en Français

  • Module de continuité — En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction admet ω pour module de continuité si et seulement si pour tout x et y dans le… …   Wikipédia en Français

  • Espace uniforme — En mathématiques, la notion d espace uniforme est une généralisation de celle d espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l une en… …   Wikipédia en Français

  • Convergence uniforme — Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue. La convergence uniforme d une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que,… …   Wikipédia en Français