Abscisses de Tchebychev

Polynôme de Tchebychev

Les polynômes de Tchebychev sont nommés d'après le mathématicien Pafnouti Tchebychev. Ils forment une famille de polynômes indexés par les entiers. Le polynôme de Tchebychev (de première espèce) T_n d'indice n = 0,1,2,... est uniquement défini par la propriété suivante : pour tout nombre réel x,

$T_{n}(\cos(x)) = \cos(nx) \,$.

Les premiers polynômes de Tchebychev sont :

$T_0(X)=1\,$

$T_1(X)=X\,$

$T_2(X)=2X^2-1\,$

$T_3(X)=4X^3-3X\,.$

Il existe aussi des polynômes de Tchebychev de seconde espèce, U_n définis par :

$U_{n}(\cos(x)) = \frac{\sin((n+1) x)}{\sin x},\quad n\in \N,\quad x\in\R.\,$

• Les polynômes de Tchebychev sont uniques, ils forment une famille de polynômes orthogonaux par rapport à une fonction poids définie plus bas.
• Les polynômes de Tchebychev T_n, U_n sont de degré n, ils vérifient tous les deux la relation de récurrence suivante :

$f_{n+2}(X)+f_{n}(X) = 2X \times f_{n+1}(X).$

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1^re espèce

• On a :

$T_n(X)=\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2X)^{n-2k},\quad n\ne0.$

• T_n forme une suite de polynômes orthogonaux avec le poids

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

sur l'intervalle ]−1,1[, c'est-à-dire :

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$

• Quel que soit n

$T_{n}(1)=1\,.$

• Quels que soient m et n

$T_{n}(T_{m}(X))=T_{mn}(X)\,.$

• Les valeurs :

$a_k^{(n)} = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\},\quad n\ne0,$

sont les n racines de T_n.

• La parité dépend de n:

$T_{n}(-X)=(-1)^nT_{n}(X)\,.$

• $\forall m \in \mathbb N^*$ Le coefficient dominant est : 2^{m − 1}

• Ils vérifient l'équation différentielle suivante :

$(1-X^2)T_{n}''(X)-XT_n'(X)+n^2T_n(X)=0\,,$

• Représentation intégrale :

$T_n(x)=\frac{1}{4i\pi}\int_C\frac{1}{z^n}\frac{1-z^2}{z(1-2xz+z^2)}dz\,$

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif. Les zéros de (z − 2xz + z²) étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T₀, et T₁, T₂, T₃, T₄ et T₅.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2^e espèce

• les premiers polynômes sont :

$U_0(X)=1\,$

$U_1(X)=2X\,$

$U_2(X)=4X^2-1\,.$

• Pour tout réel X, on a :

$U_n(X)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \binom{n-k}{k}~(2X)^{n-2k},\quad n\ne0.$

• les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont orthogonaux avec le poids

$\sqrt{1-x^2}$

sur l'intervalle [−1,1], c'est-à-dire :

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n=m \end{cases}$

• Pour tout n entier

U_n(1) = n + 1,

• Les valeurs

$a_k^{(n)} = \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)\;,\quad k\in\{1,...,n\},\quad n\ne0,$

sont les n racines de U_n.

• La parité dépend de n :

$U_{n}(-X)=(-1)^nU_{n}(X)\,.$

• Ils vérifient l'équation différentielle suivante:

$(1-X^2)U_{n}''(X)-3XU_n'(X)+n(n+2)U_n(X)=0\,.$

• Représentation intégrale :

$U_n(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_C\frac{1}{z^n}\frac{1}{z(1-2xz+z^2)}dz\,$

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif. Les zéros de (z − 2xz + z²) étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U₀, et U₁, U₂, U₃, U₄ et U₅.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

$U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,$

$U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,$

$U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,$

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales

$T_{n}(X)=U_{n}(X)-X U_{n-1}(X)\,.$

$T_{n}(X)=\frac{n}{2}C_{n}^{(0)}(X),$

$U_{n}(X)=C_{n}^{(1)}(X),$

avec $C_n^{(k)}$ un polynôme de Gegenbauer et

$T_{n}(X)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-X}{2}\right),$

$U_{n}(X)=(n+1)F\left(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1-X}{2}\right),$

avec F la fonction hypergéométrique.

Intérêt

Tchebychev a découvert ceux-ci en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer que pour minimiser l'erreur engendrée par l'interpolation (cf. phénomène de Runge), il faut choisir les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation. Dans ce contexte, ces $a_k^{(n)}$ données ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a,b] considéré (par une transformation affine $x\mapsto\tfrac{b-a}{2}x+\tfrac{b+a}{2}$), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev sont impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Ils peuvent également servir à démontrer le théorème de Weierstrass (Toute fonction continue sur un intervalle I est limite uniforme d'une suite de polynômes).

Bibliographie

• Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
• (en) Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chap. 22.

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