Connexion de Levi-civita

Connexion de Levi-Civita

En géométrie riemannienne, la connexion de Levi-Civita est une connexion de Koszul naturellement définie sur toute variété riemannienne ou par extension sur toute variété pseudo-riemannienne. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les géodésiques, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est parallèle. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.

La connexion de Levi-Civita est appelée en référence au mathématicien italien Tullio Levi-Civita (1873 - 1941) qui a introduit les concepts de transport parallèle pour les besoins de la relativité générale.

Définition

Une métrique pseudo-riemannienne g de classe C^k sur une variété différentielle M est la donnée d'une famille g_x de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents T_xM, de sorte que pour tous champs de vecteurs X et Y de clase C^k, la fonction g(X,Y) soit de classe C^k. La signature de g est localement constante sur U. La métrique g est dite riemannienne si en tout point x la forme g_x est (définie) positive.

Il existe une unique connexion de Koszul $\nabla$ sur T_xM, appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les conditions :

1. $\nabla$ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs X et Y, $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$ ;
2. et g est parallèle : pour tous champs de vecteurs X, Y et Z, on a :

$Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)$.

Existence et unicité

Unicité : On commence par établir l'unicité de la connexion de Levi-Civita en supposant que cette dernière existe. La stratégie est la suivante : on cherche une identité définissant implicitement $\nabla$. A posteriori, cette identité sera utilisée pour définir la connexion recherchée. Comme g est parallèle pour la connexion de Levi-Civita, pour tous champs de vecteurs X, Y et Z, on a :

$X\cdot g(Y,Z)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)$,

$Y\cdot g(Z,X)=g(\nabla_YZ,X)+g(Z,\nabla_YX)$,

$Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)$.

La somme des deux premières identités moins la troisième donne :

$X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_XY+\nabla_YX,Z) +g(\nabla_XZ-\nabla_ZX,Y)+g(\nabla_YZ-\nabla_ZY,X)$

Parce que la torsion est nulle, l'expression précédente se simplifie :

$2g(\nabla_XY,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.

Par non dégénérescence de g, la connexion $\nabla$ est uniquement déterminée par l'égalité ci-dessus.

Existence : Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur M, on définit le champ $\nabla_XY$ comme l'unique champ de vecteurs sur M vérifiant l'identité précédemment obtenue :

$2g(\nabla_XY,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.

$\nabla$ est bien une connexion de Koszul. En effet, pour toutes fonctions f, on a :

$2g(\nabla_X(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)$

$=df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla_XY,Z)$

$=2g(df(X).Y+f\nabla_XY,Z)$ ;

$2g(\nabla_{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)$

$=df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla_XY,Z)$

$=2g(f\nabla_XY,Z)$.

$\nabla$ est bien sans torsion :

$2g(\nabla_XY-\nabla_YX,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$

$-Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)$

= 2g([X,Y],Z).

Enfin, g est bien parallèle pour la connexion $\nabla$ :

$2g(\nabla_XY,Z)+2g(Y,\nabla_XZ)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$

$+X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)$

$=2X\cdot g(Y,Z)$.

Ainsi, la connexion de Koszul $\nabla$ vérifie toutes les conditions requises.

La démonstration donnée dans la boite déroulante donne une expression implicite de la connexion de Levi-Civita. Toutefois, cette expression est souvent peu utile. Seules les propriétés énoncées dans sa définition suffisent.

Coordonnées locales

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Courbure

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Exemples

Métriques induites

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Métriques conformes

La connexion de Levi-Civita de e^2f.g est donnée par :

$\nabla'_XY=\nabla_XY+df(X)Y$

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