Conjecture de birch et swinnerton-dyer

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

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En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) relie le rang du groupe abélien de points sur un corps de nombres d'une courbe elliptique E à l'ordre du zéro de la fonction L associée L(E,s) pour s = 1.

Ouverte depuis plus de quarante ans, la conjecture n'a été démontrée que dans des cas particuliers. Largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts à la fin du XX^e siècle, elle est un des sept problèmes du prix du millénaire pour lesquels le Clay Mathematics Institute offre un prix d'un million de dollars US.

Contexte

En 1922, Louis Mordell a démontré que, pour toute courbe elliptique définie sur le corps des rationnels, il existe un sous-ensemble fini de points rationnels sur la courbe à partir desquels tous les autres points rationnels peuvent être générés. Autrement dit, le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique possède une base finie.

Si le nombre de points rationnels sur une courbe est infini, alors certains points dans une base finie doivent être d'ordre infini. Le nombre de points de la base d'ordre infini est appelé le rang de la courbe, et est une importante propriété invariante d'une courbe elliptique.

Si le rang d'une courbe elliptique est 0 alors la courbe possède seulement un nombre fini de points rationnels. D'un autre côté, si le rang de la courbe est plus grand que 0, alors la courbe possède un nombre infini de points rationnels.

Bien que le théorème de Mordell montre que le rang d'une courbe elliptique est toujours fini, il ne donne pas de méthode effective pour calculer le rang de chaque courbe. Le rang de certaines courbes elliptiques peut être calculé en utilisant des méthodes numériques mais celles-ci ne peuvent pas être généralisées pour toutes les courbes.

Une fonction L, L(E,s), peut être définie pour toute courbe elliptique E en construisant un produit eulérien à partir du nombre de points sur la courbe modulo chaque nombre premier p. Cette fonction L est analogue à la fonction zêta de Riemann et aux séries L de Dirichlet qui sont définies pour une forme quadratique binaire.

La définition naturelle de L(E,s) converge seulement pour les valeurs de s dans le plan complexe avec Re(s) > 3/2. Helmut Hasse a conjecturé que L(E,s) pouvait être étendue par prolongement analytique au plan complexe entier. Cette conjecture fut d'abord démontrée par Max Deuring pour les courbes elliptiques avec multiplication complexe. Dans le cas général, elle résulte du théorème de Taniyama-Shimura, qui établit que toute courbe elliptique est modulaire, c'est-à-dire que sa fonction L est la fonction L associée à une forme modulaire.

Trouver des points rationnels sur une courbe elliptique générale est un problème difficile. Trouver les points sur une courbe elliptique modulo un nombre premier donné p est conceptuellement direct, puisqu'il n'existe seulement qu'un nombre fini de possibilités de vérification. Néanmoins, pour des grands nombres premiers, cela requiert des calculs intensifs.

Histoire

Au début des années 1960, Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont utilisé l'ordinateur EDSAC au laboratoire informatique de l'Université de Cambridge pour calculer le nombre de points modulo p (désigné par N_p) pour un grand nombre de nombres premiers p sur des courbes elliptiques dont le rang était connu. À partir de ces résultats numériques, ils émirent la conjecture que N_p pour une courbe E avec un rang r obéissent à la loi asymptotique

$\prod_{p<x} \frac{N_p}{p} \approx \log(x)^r \mbox{ pour } x \rightarrow \infty.$

Initialement, ceci était basé sur quelque chose de ténu montré par des points graphiques qui ont induit un certain scepticisme chez le maître de Birch, J. W. S. Cassels.

Cela les conduisit à faire une conjecture sur le comportement de la fonction L d'une courbe elliptique L(E,s) en s = 1, expressément, qu'il y aurait un zéro d'ordre r en ce point. C'était une conjecture particulièrement spectaculaire car à cette époque, le prolongement analytique de L(E,s) au point s = 1 était seulement établi pour les courbes avec multiplication complexe.

Une version plus précise de la conjecture fut ensuite proposée, décrivant le résidu du zéro en s = 1 en fonction d'invariants arithmétiques de la courbe étudiés par Cassels, Tate, Shafarevich et d'autres.

Par exemple, considérons un polynôme en deux variables f(x,y) non nul dont les coefficients sont des nombres rationnels. Supposons que la courbe projective plane associée n'ait pas de singularités. Intéressons-nous aux solutions de l'équation f(x,y) = 0 en des nombres rationnels (x,y). Alors :

• Si le degré de f est égal à 1 ou 2 (le cas d'une droite ou d'une conique), soit cet ensemble est vide (par exemple f(x,y) = x² + y² + 1), soit il est infini, auquel cas la courbe projective associée est isomorphe à une droite projective.
• Si le degré de f est supérieur ou égal à 4, Gerd Faltings a démontré que cet ensemble est fini (conjecture de Mordell).
• Si le degré de f est égal à 3, tous les cas sont possibles. Si cet ensemble est non-vide, la courbe projective associée est une courbe elliptique. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit alors la « taille » (le rang) de l'ensemble des solutions en fonction du prolongement méromorphe d'une série génératrice formée à partir du nombre de solutions de f(x,y)=0 modulo p pour tout nombre premier p. Elle prédit en particulier le fait de savoir si cet ensemble est fini ou infini.

Énoncé plus précis

Considérons une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l'ordre d'annulation de la fonction L de cette courbe elliptique en s=1 est égal au rang de cette même courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non-nul dans le développement limité en s=1 de cette fonction L.

État actuel

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a été démontrée seulement dans les cas particuliers suivants :

1. En 1976, John Coates et Andrew Wiles ont démontré que si E est une courbe avec la multiplication complexe et L(E,1) n'est pas 0 alors E possède seulement une nombre fini de points rationnels, dans le cas de nombre de classe 1. Ceci fut étendu à tous les corps quadratiques imaginaires par Nicole Artaud.
2. En 1983, B. Gross et Don Zagier ont montré que si une courbe elliptique modulaire possède un zéro d'ordre 1 en s = 1 alors elle possède un point rationnel d'ordre infini.
3. En 1990, Victor Kolyvagin a montré qu'une courbe elliptique modulaire E pour laquelle L(E,1) n'est pas zéro est de rang 0, et une courbe elliptique modulaire E pour laquelle L(E,1) possède un zéro d'ordre 1 en s = 1 est de rang 1.
4. En 1999, Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont démontré que toutes les courbes elliptiques sont modulaires (le théorème de Taniyama-Shimura), qui étend les deux résultats précédents à toutes les courbes elliptiques.

Rien n'a été démontré pour les courbes de rang supérieur à 1, bien que les calculs laissent à penser que la conjecture est vraie.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est un des sept problèmes du prix du millénaire sélectionnés en mai 2000 par le Clay Mathematics Institute, qui offre un prix d'un million de dollars US pour une démonstration de la conjecture entière.

Liens externes

• Mathworld, http://mathworld.wolfram.com/Swinnerton-DyerConjecture.html
• Clay Mathematics Institute, http://www.claymath.org/millennium/Birch_and_Swinnerton-Dyer_Conjecture/
• PlanetMath.org, http://planetmath.org/encyclopedia/BirchAndSwinnertonDyerConjecture.html

Problèmes du prix du millénaire

Hypothèse de Riemann - Conjecture de Poincaré - P=NP - Conjecture de Hodge - Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer - Équations de Navier-Stokes - Équations de Yang-Mills

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