Conjecture de Mordell

Théorème de Faltings

En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

Énoncé

Soit l'équation définie de la manière suivante :

$P(x,y) = 0\,$

Avec P un polynôme à coefficients rationnels. Le problème est de trouver le nombre de solutions X de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solution dépend du genre de la courbe C associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir 2 morceaux distincts).

• Si le genre vaut 0 (par exemple une droite), alors :
  • Soit $X = \infty$ ;
  • Soit X = 0.
• Si le genre vaut 1, alors :
  • Soit l'équation n'a pas de solutions ;
  • Soit C est une courbe elliptique. En 1920, Mordell a démontré que l'ensemble des points rationnels forme un groupe abélien de type fini.
• Si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

Application

Équation de Fermat

Soit l'équation :

xⁿ + yⁿ = zⁿ

dont on cherche les solutions entières. Si (a,b,c) est une solution avec c non-nul, alors (a / c,b / c) est une solution à cordonnées rationnelles de l'équation

uⁿ + vⁿ = 1.

Elle correspond à une courbe de genre $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$. Ainsi, pour n supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le Grand théorème de Fermat, alternative à celle suivie par Andrew Wiles, n'a donc pas encore abouti.

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