Compactification d'Alexandrov


Compactification d'Alexandrov

Compactifié d'Alexandroff

Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère \tilde{X} = X \cup \{x\}x \not\in X, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de \tilde{X} est constitué par :

On vérifie alors que \tilde{X} muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace \tilde{X} s'appelle alors le compactifié d'Alexandroff de l'espace localement compact X ; x s'appelle le point à l'infini de \tilde{X} et se note également .

Exemples

Le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R^n est homéomorphe à la sphère de dimension n.

Par exemple le compactifié d'Alexandroff de \mathbb R est un cercle, celui de \mathbb R^2 (ou \mathbb{C}) est une sphère, appelée communément sphère de Riemann.

Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point "à l'infini" : à l'infini la droite réelle se "referme" en un cercle.

Voir aussi

Compactification

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Compactifi%C3%A9 d%27Alexandroff ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Compactification d'Alexandrov de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Pavel Alexandrov — For Russian footballer, see Pavel Aleksandrov (footballer). Pavel Sergeyevich Alexandrov Pavel Sergeyevich Alexandrov Born …   Wikipedia

  • Compactifié d'Alexandrov — Compactifié d Alexandroff Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère où , et on définit une topologie de la manière suivante.… …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'Alexandrov — Compactifié d Alexandroff Soit X un espace topologique séparé et localement compact, mais non compact. On peut, en ajoutant un point à X, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère où , et on définit une topologie de la manière suivante.… …   Wikipédia en Français

  • Sphere de Riemann — Sphère de Riemann Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l infini, de manière à ce que certaines… …   Wikipédia en Français

  • Sphère de Gauss — Sphère de Riemann Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l infini, de manière à ce que certaines… …   Wikipédia en Français

  • Sphère de Riemann — Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l infini, de manière à ce que certaines expressions mathématiques… …   Wikipédia en Français

  • Sphère de riemann — Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l infini, de manière à ce que certaines expressions mathématiques… …   Wikipédia en Français

  • Compact space — Compactness redirects here. For the concept in first order logic, see compactness theorem. In mathematics, specifically general topology and metric topology, a compact space is an abstract mathematical space whose topology has the compactness… …   Wikipedia

  • Alexandroff extension — In mathematical field of topology, the Alexandroff extension is a way to extend a noncompact topological space by adjoining a single point in such a way that the resulting space is compact. It is named for the Russian mathematician Pavel… …   Wikipedia

  • List of Russian people — The Millennium of Russia monument in Veliky Novgorod, featuring the statues and reliefs of the most celebrated people in the first 1000 years of Russian history …   Wikipedia