Commande LQG


Commande LQG

En automatique, la Commande linéaire quadratique gaussienne dite commande LQG est une méthode qui permet de calculer le gain d'une commande par retour d'état dans un souci particulier de réduire les bruits blancs.

La commande LQG réunit un contrôleur LQ (Linear Quadratic) et un estimateur de Kalman pouvant être calculé indépendamment suivant le principe de séparation. La commande LQ garantit une certaine robustesse de la boucle fermée, ce qui n'est pas le cas de la boucle LQG.

Caractère optimal

Si on considère le système suivant:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t) +  \mathbf{v}(t)
\mathbf{z}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{w}(t),

z est le vecteur de variables contrôlées; u est le vecteur de commande; v est un bruit blanc gaussien sur l'état et w un bruit blanc gaussien sur la sortie.

Le critère optimisé standard est de type temporel et permet d'opérer un compromis entre le temps de convergence et la consommation de commande: J=\int_{0}^{T}(z^tQz+u^rRu)dt Où: z est le vecteur de variables contrôlées; u est le vecteur de commande; Q et R sont des matrices de pondérations définies positives


Le contrôleur LQG est la solution des équations:

 \dot\hat{\mathbf{x}}(t) = A(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + B(t){\mathbf{u}}(t)+K(t) \left( {\mathbf{z}}(t)-C(t)\hat{\mathbf{x}}(t) \right),  \hat{\mathbf{x}}(0) = E \left( {\mathbf{x}}(0) \right)
 {\mathbf{u}}(t)= -L(t) \hat{\mathbf{x}}(t).

La matrice {\mathbf{}}K(t) est appelée gain de Kalman du filtre de Kalman associée à la première équation. Ce filtre estime l'état du système \hat{\mathbf{x}}(t). Le gain de Kalman {\mathbf{}}K(t) est calculé à partir des matrices {\mathbf{}}A(t), C(t) et les deux matrices de covariances \mathbf{}V(t), \mathbf{}W(t) des bruits blancs gaussiens \mathbf{v}(t) et \mathbf{w}(t) et de l'état initial E\left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right). Le gain de Kalman est calculé par résolution de l'équation différentielle matricielle dite de Riccati,

 \dot{P}(t) = A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t){\mathbf{}}W^{-1}(t)
C(t)P(t)+V(t),
 P(0)= E \left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right).

Soit P(t), 0 \leq t \leq T le gain de Kalman est,

 {\mathbf{}}K(t) = P(t)C'(t)W^{-1}(t)


La matrice {\mathbf{}}L(t) est le gain du correcteur LQ. Cette matrice est déterminée par les matrices {\mathbf{}}A(t), B(t), Q(t), R(t) et {\mathbf{}}F par résolution de l'équation de Riccati,

 -\dot{S}(t) = A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t),
  {\mathbf{}}S(T) = F.

Soit {\mathbf{}}S(t), 0 \leq t \leq T il vient,

 {\mathbf{}}L(t) = R^{-1}(t)B'(t)S(t).

On peut observer la similarité entre les deux équations différentielles: la première est dans le sens de la flèche du temps tandis que la deuxième est à rebours. Cela vient de la dualité entre les problèmes de contrôle et d'estimation.

Quand {\mathbf{}}A(t), B(t), C(t), Q(t), R(t) et les matrices de covariances \mathbf{}V(t), \mathbf{}W(t) ne dépendent pas du temps, le contrôleur LQG est invariant dans le temps et les équations deviennent des équations de Riccati (équation de Riccati) algébriques.


La commande LQG est optimale au sens de la norme H2. Pour faire le lien avec les techniques fréquentielles de type H: il est possible de réaliser un optimisation dans le domaine fréquentiel au sens de la norme H2 sur le même schéma de synthèse d'une commande H. La synthèse H2 peut être réalisée sur les mêmes entrées-sorties que la synthèse Hinfini, tout juste sera-t-il nécessaire de régler les pondérations fréquentielles.

Articles connexes

Liens externes

Cours LQG de Daniel Alazard, Supaéro



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Commande LQG de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Commande (automatisme) — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Controle-commande — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Contrôle-commande — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Théorie de la commande — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Automatique — Pour les articles homonymes, voir Automatic. L’automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l’analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements… …   Wikipédia en Français

  • Grandeur réglée — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Régulation industrielle — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Système asservi — Automatique L automatique fait partie des sciences de l ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la… …   Wikipédia en Français

  • Equation de Riccati — Équation de Riccati En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme . Où , et sont trois fonctions, souvent choisies continues à valeurs réelles sur un intervalle commun mais on les rencontre… …   Wikipédia en Français

  • Équation de Riccati — En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme . Où , et sont trois fonctions, souvent choisies continues sur un intervalle commun à valeurs réelles ou complexes. Elle porte ce nom en l honneur de… …   Wikipédia en Français


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.