Commandabilité

Un système est dit commandable si quel que soit x(t_i) l'état à l'instant initial, et quel que soit x(t_f) l'état à l'instant final, il existe une commande u(t), appliquée sur un intervalle de temps fini [t_i;t_f], qui permet de rejoindre l'état final partant de l'état initial.

On considérera dans cet article les systèmes linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

$\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}$

Critère de Kalman pour la commandabilité des systèmes linéaires invariants

Dans un cas plus général, le système est commandable si et seulement si :

$rang(\mathcal{C}) = rang\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

La matrice $\mathcal{C}$ est appelée la matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : A^{k + 1}B = A * A^kB.

Dualité commandabilité / observabilité

Il existe un principe de dualité entre la commandabilité et l'observabilité : soient deux systèmes :

$S : \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases} S^* : \begin{cases}\dot X^* = A^TX^*+C^TU^* \\ Y^*=B^TX^*\end{cases}$

• S est observable si et seulement si S ^* est commandable
• S est commandable si et seulement si S ^* est observable
• Un système à la fois commandable et observable est dit minimal.

Stabilisabilité

La commandabilité est une propriété structurelle forte du système. Il est souvent suffisant d'utiliser la propriété de stabilisabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un système est dit stabilisable si :

• Ses pôles non commandables sont stables, i. e. les variables non commandables sont naturellement stables.
• Il existe une commande par retour d'état U(t) = − KX(t) tel que la matrice (A − BK) soit de Hurwitz.

Forme canonique pour la commandabilité

Il est souvent intéressant de séparer les variables d'état commandables des autres. Notons χ la partition commandable du vecteur d'état, et ξ le reste du vecteur d'état, non commandable. Le système s'écrit alors :

$\begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix}U$

La forme canonique pour la commandabilité est caractérisée par l'absence des termes A₂₁ et B₂ qui sont donc nuls. Sous cette forme, le système est stabilisable si et seulement si la matrice A₂₂ est de Hurwitz.

Voir aussi

Articles connexes

• Représentation d'état
• Automatique
• Commande par retour d'état

Lien externe

(en) Controllability de PlanetMath