Cinquième axiome

Axiome d'Euclide

L'axiome d'Euclide, axiome des parallèles ou cinquième postulat d'Euclide, dû à Euclide (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie), est un axiome du plan : « Par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite ».

Théorème ou axiome?

Euclide lui-même a présenté cette propriété comme un axiome, son cinquième axiome. Les géomètres qui lui ont succédé pensaient que cette propriété découlait logiquement des 4 premiers axiomes, qu'elle était obligatoirement vraie.

Au XIX^e siècle, avec les recherches de Lobatchevsky, Poincaré, Riemann, et Klein, on a pu trouver d'autres géométries possibles et non-contradictoires en conservant les 4 premiers axiomes et en changeant le cinquième, elles sont appelées géométrie non euclidiennes.

Dans certaines géométries, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° (géométrie elliptique ou sphérique), dans d'autres elle est inférieure à 180° (géométrie hyperbolique). Par exemple, en modifiant le 5^e axiome ainsi : « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite, et toutes différentes », on obtient la géométrie hyperbolique. Avec cet axiome, le théorème de Pythagore est faux la plupart du temps.

Cependant, même à l'heure actuelle cette démarche sur les diverses constructions axiomatiques de la géométrie du plan n'est pas complètement admise ou comprise comme l'illustrent des tentatives modernes de démonstration de la propriété, par exemple Jacques Camü, Démonstration du postulat d'Euclide et de son inutilité, Les presses du midi, 2006 (ISBN 2-87867-063-9). Dans Les Fous littéraires, page 471, (réédité en 2001, Paris, Éditions des Cendres) (ISBN 2-86742-094-6), l'auteur André Blavier cite 13 ouvrages parus entre 1862 et 1932 écrits par ceux que l'auteur appelle du terme plus général de "quadrateurs" qui pensent démontrer le postulat d'Euclide.

Énoncé d'origine

L'énoncé véritable d'Euclide est d'une forme plus compliquée et plus intrigante que celle qui est adoptée ci-dessus; « Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits ». En langage moderne cela donnerait « Si une droite croise deux autres droites en déterminant deux angles internes d'un même côté dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites se coupent dans le demi-plan où la somme est inférieure à deux angles droits ».

Articles connexes

• Axiomatique de la géométrie
• Axiomes de Hilbert : comparaison entre les axiomes d'Euclide et les axiomes de Hilbert
• Géométrie euclidienne
• Géométrie non-euclidienne
• Livre I des Éléments d'Euclide

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