Calcul Infinitésimal


Calcul Infinitésimal

Calcul infinitésimal

Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires :

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Sommaire

Historique

Article détaillé : Histoire du calcul infinitésimal.

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIXe siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier. Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment.

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant la récente coupure des contacts avec l'Extrême-Orient à cette époque ne permit pas la diffusion de ses travaux en Europe. [1]

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du « problème de la tangente ».

Calcul différentiel

Article détaillé : dérivée.

Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique. Par exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en termes d'équations différentielles pour décrire les systèmes oscillants.

La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui permet de trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un très bref aperçu des nombreuses applications du calcul infinitésimal dans des problèmes qui, à première vue, ne sont pas formulés en ces termes.

Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral

Article détaillé : intégrale.

Le calcul intégral étudie les méthodes permettant de trouver l'intégrale d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface d'une fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe ainsi que la surface et le volume de solides comme la sphère ou le cône.

Bases

Les bases conceptuelles du calcul infinitésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites infinies, séries infinies et continuité. Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire et l'induction mathématique.

La version moderne du calcul infinitésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul infinitésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle.

Théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont, dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette « découverte » par Newton et Leibniz qui est à l'origine de l'explosion des résultats analytiques. Ce lien nous permet de retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle à partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème fondamental nous donne aussi une méthode pour calculer beaucoup d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer réellement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction à ses dérivées. Les équations différentielles sont fondamentales en science.

Applications

Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x. Lorsqu'on fait subir au point M un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy, et on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy.

Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres illustre que dx.dy est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations dx et dy (qui sont des formes différentielles), et à la quantité dx.dy qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On écrit donc:

 dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}
 \overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs :

 dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM}\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

  (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=0 pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

Bibliographie

  • Robert A. Adams, Calculus: A complete course. ISBN 0-201-39607-6 (1999) (en)
  • Spivak, Michael, « Calculus » Publish or Perish publishing. ISBN 0914098896 (Sept 1994) (en)
  • Cliff Pickover. (2003) ISBN 0-471-26987-5 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. (en)
  • Silvanus P. Thompson and Martin Gardner, Calculus Made Easy. ISBN 0312185480 (1998) (en)
  • Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, 1986. (en)
  • Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America, The Association, Stony Brook, NY. 1988. ED 300 252. (en)
  • René Guénon, Les principes du calcul infinitésimal, Gallimard.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Calcul infinit%C3%A9simal ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Calcul Infinitésimal de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Calcul infinitesimal — Calcul infinitésimal Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires : La notion de… …   Wikipédia en Français

  • Calcul infinitésimal — Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires : La notion de différentielle, qui établit… …   Wikipédia en Français

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire — L’expression «calcul infinitésimal» désigne habituellement l’ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu’il a été mis au point au cours des XVIIe et XVIIIe… …   Encyclopédie Universelle

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable — Créée au XVIIe siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au XVIIIe, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l’analyse… …   Encyclopédie Universelle

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables — Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d’un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu’au début du XXe… …   Encyclopédie Universelle

  • Histoire du calcul infinitésimal — La création du calcul infinitésimal est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Néanmoins, son histoire est très vaste, d Archimède à Barrow en passant par Fermat. Sommaire 1 Antiquité… …   Wikipédia en Français

  • Histoire Du Calcul Infinitésimal — L histoire du calcul infinitésimal est liée à deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Sommaire 1 Contexte 2 Isaac Newton 3 Gottfried Wilhelm von Leibniz …   Wikipédia en Français

  • Histoire du calcul infinitesimal — Histoire du calcul infinitésimal L histoire du calcul infinitésimal est liée à deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. Sommaire 1 Contexte 2 Isaac Newton 3 Gottfried Wilhelm von Leibniz …   Wikipédia en Français

  • Analyse infinitésimale ou calcul infinitésimal — ● Analyse infinitésimale ou calcul infinitésimal branche de l analyse constituée par le calcul différentiel et le calcul intégral, fondée sur l étude des infiniment petits et des limites …   Encyclopédie Universelle

  • infinitésimal — infinitésimal, ale, aux [ ɛ̃finitezimal, o ] adj. • 1706; de l adj. infinitésime, lat. mod. infinitesimus 1 ♦ Sc. Relatif aux quantités infiniment petites. Calcul infinitésimal, analyse infinitésimale : partie des mathématiques comprenant le… …   Encyclopédie Universelle


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.