Équation fonctionnelle de Cauchy

Équation fonctionnelle de Cauchy

L’équation fonctionnelle de Cauchy est l'une des équations fonctionnelles les plus simples, elle s'écrit :

\forall x,y \in \R, f(x+y) = f(x) + f(y) d'inconnue f:\R\rightarrow\R

En d'autres termes, les solutions de cette équation sont exactement les endormorphismes de \R.

On montre aisément que f est linéaire sur \Q, c'est-à-dire : \exists a \in \R, \forall x \in \Q, f(x) = ax.

Pour obtenir la linéarité sur \R, il faut rajouter une condition supplémentaire :

  • la continuité en un point
  • être majorée ou minorée sur un intervalle
  • être monotone sur un intervalle.

Sans aucune condition supplémentaire, il est démontré qu'il existe encore une infinité de fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle de Cauchy mais n'étant continue en aucun point et bornée sur aucun intervalle.

Sommaire

Preuve sur les rationnels

Si f est solution, on a nécessairement :

  • f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) par hypothèse soit f(0) = 0.
  • \forall x \in \R, 0 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) par hypothèse soit f( − x) = − f(x), c'est-à-dire que f est impaire sur \R.
  • \forall n \in \N, \forall x \in \R, f(nx) = f(\underbrace{x + \cdots + x}_{n fois}) \overset{hyp.}{=} \underbrace{f(x) + \cdots + f(x)}_{n fois} = n f(x).
  • Sur les négatifs, on a en utilisant l'imparité :

\forall x \in \R, \forall n \in \Z, n<0, f(nx) = f(-n (-x)) = -n f(-x) = n f(x).

  • Sur les rationnels, soit r \in \Q, \exists! (p,q) \in \Z\times\N^{*}, r=\frac{p}{q}.

Puis \forall x \in \R, p f(x) = f(px) = f(qrx) = q f(rx) \Leftrightarrow f(rx) = \frac{p}{q} f(x) = r f(x).

Donc en particulier pour x=1, il vient \forall r \in \Q, f(r) = r f(1) : d'où la linéarité sur \Q.

Ajout de condition

Si on suppose de plus que f est continue en x_0 \in \R, on peut montrer que f est continue sur \R puis par un argument de densité de \Q dans \R on va arriver à montrer que f est \R-linéaire :

f continue en x0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) \Leftrightarrow \lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0).

On utilise l'hypothèse sur f :

Soit a\in \R, f(a+h) = f(a)+f(h) = f(a)+f(x_0+h)-f(x_0).

Donc \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{h\to 0} f(a+h) = \lim_{h\to 0} f(a)+f(x_0+h)-f(x_0) = f(a)+f(x_0)-f(x_0) = f(a).

D'où la continuité sur \R. De plus par la densité de \Q dans \R, \forall x \in \R il existe une suite de rationnels xn qui tend vers x en l'infini.

Or comme f est continue sur \R, \lim_{n\to +\infty} f(x_n) = f(x).

Et f(x_n) = x_n f(1), \lim_{n\to +\infty} x_n f(1) = x f(1).

Par unicité de la limite, f(x) = xf(1). D'où la \R-linéarité.

Propriété des autres solutions

Elles sont un cas pathologique.

Preuve de l'existence d'autres solutions

Importance de l'équation

De nombreuses équations fonctionnelles se ramènent à l'équation fonctionnelle de Cauchy. Par exemple soit :

(E) : \forall x,y \in \R, f(x+y) = f(x) f(y) et f continue, d'inconnue f:\R\rightarrow\R.


En ayant préalablement montré que f est strictement positive (en ayant supposé f différente de la fonction nulle : x \mapsto 0), on obtient :

\forall x,y \in \R, \ln(f(x+y)) = \ln(f(x) f(y)) = \ln(f(x)) + \ln(f(y)).

D'où \ln \circ f vérifie l'équation fonctionnelle de Cauchy et est continue (composée de fonctions continues) donc

\exists a \in \R, \forall x \in \R, \ln(f(x)) = ax \Leftrightarrow f(x) = e^{ax}. Ce sont les fonctions exponentielles en base a.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation fonctionnelle de Cauchy de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Equation fonctionnelle — Équation fonctionnelle En mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant quelles équations elles satisfont. D habitude,… …   Wikipédia en Français

  • Équation fonctionnelle — En mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant quelles équations elles satisfont. D habitude, le terme… …   Wikipédia en Français

  • Cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Patronyme Augustin Louis Cauchy (1789 1857),… …   Wikipédia en Français

  • Equation differentielle — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Equation différentielle — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle du premier ordre — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle ordinaire — Équation différentielle En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L ordre d une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une… …   Wikipédia en Français

  • Equation differentielle Generale autonome du premier ordre — Équation différentielle autonome Une équation différentielle autonome est un cas particulier important d équation différentielle où la variable n apparaît pas dans l équation fonctionnelle. C est une équation de la forme : Les lois de la… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle Générale autonome du premier ordre — Équation différentielle autonome Une équation différentielle autonome est un cas particulier important d équation différentielle où la variable n apparaît pas dans l équation fonctionnelle. C est une équation de la forme : Les lois de la… …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle générale autonome du premier ordre — Équation différentielle autonome Une équation différentielle autonome est un cas particulier important d équation différentielle où la variable n apparaît pas dans l équation fonctionnelle. C est une équation de la forme : Les lois de la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”