Topologie initiale
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En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit.
Définition
Soient X un ensemble et (fi)i∈I une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi. La topologie initiale associée à ces données est la moins fine topologie sur X pour laquelle toutes les fi sont continues.
Autrement dit, c'est la topologie engendrée par l'ensemble de toutes les parties de X de la forme fi−1(U), où i appartient à I et où U est un ouvert de l'espace Yi correspondant.
Exemples
Caractérisation
Cette topologie initiale sur X est caractérisée par la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique Z, une application g : Z → X est continue (X étant muni de la topologie initiale) si et seulement si toutes les applications fiog : Z → Yi le sont.
Référence
Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chapitres 1 à 4
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Topologie initiale de Wikipédia en français (auteurs)
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