Topologie compacte-ouverte

En mathématiques, la topologie compacte-ouverte est une topologie définie sur l'ensemble des applications continues entre deux espaces topologiques. C'est l'une des topologies les plus utilisées sur un tel espace fonctionnel, et elle est employée en théorie de l'homotopie et en analyse fonctionnelle. Elle a été introduite par Ralph Fox (en) en 1945^[1].

Définition

Soient X et Y deux espaces topologiques et C(X,Y) l'espace des applications continues de X dans Y. Pour toute partie compacte K de X et tout ouvert U de Y, notons V(K,U) l'ensemble de toutes les applications f∊C(X,Y) telles que f(K)⊂U. Alors, l'ensemble de tous ces V(K,U) forme une prébase de la topologie compacte-ouverte sur C(X,Y).

Propriétés

• Si * désigne l'espace singleton, C(*,Y) (muni de la topologie compacte-ouverte) est homéomorphe à Y.
• Si Y est localement compact alors la composition de fonctions C(Y,Z)×C(X,Y)→C(X,Z), (f,g)↦f∘g est continue (les trois espaces de fonctions étant munis de la topologie compacte-ouverte et C(Y,Z)×C(X,Y) de la topologie produit).
• Si Y est localement compact alors l'application d'évaluation C(Y,Z)×Y→Z, (f,x)↦f(x) est continue (c'est une conséquence des deux propriétés précédentes).
• Si Y est localement compact et si C(Y,Z) est muni de la topologie compacte-ouverte, alors l'application naturelle de l'ensemble C(X×Y,Z) dans l'ensemble C(X,C(Y,Z)) est bijective, si bien que l'espace topologique C(Y,Z) représente le foncteur contravariant X↦C(X×Y,Z).
• Si Y est un espace T₀, T₁, séparé, régulier ou de Tychonov alors C(X,Y) aussi.
• Si X est séparé on peut, dans la définition ci-dessus d'une prébase de C(X,Y), se limiter aux U appartenant à une prébase de Y.
• Si Y est un espace uniforme (par exemple un espace métrique) alors, sur C(X,Y), la topologie compacte-ouverte est induite par la structure uniforme de la convergence uniforme sur tout compact.
• Si X est compact et si Y est métrisable par une distance d, alors la topologie compacte-ouverte sur C(X,Y) est celle de la convergence uniforme. Elle est donc métrisable, par la distance e définie par e(f,g) = sup{d(f(x),g(x)) : x∊X}.

Variante pour les applications Fréchet-différentiables

Soient X et Y deux espaces de Banach sur le même sous-corps de C, U un ouvert de X, et C^m(U,Y) l'ensemble de toutes les applications continûment m-Fréchet-différentiables de U dans Y. Sur cet ensemble, on définit pour tout compact K de U une semi-norme p_K par :

$p_K(f)=\sup\{\|D^jf(x)\|~;~x\in K,~0\le j\le m\}.$

Muni de toutes ces semi-normes, C^m(U,Y) est un espace localement convexe dont la topologie est encore appelée « topologie compacte-ouverte ».^{[réf. souhaitée]}

Note et références

1. ↑ (en) Ralph H. Fox, « On topologies for function spaces, part I », dans Bull. Amer. Math. Soc. (en), vol. 51, 1945, p. 429-432 

• (en) J. Dugundji, Topology, Allyn and Becon, 1966 (ISBN B000-KWE22-K) 
• (en) O. Ya. Viro (en), O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov et N. Yu. Netsvetaev, Textbook in Problems on Elementary Topology, 2007 
• (en) Compact-open topology de PlanetMath

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compact-open topology » (voir la liste des auteurs)