Théorème du collage


Théorème du collage
Fougère de Barnsley, construite à partir de copies d'elle-même

En mathématiques le théorème du collage démontre l'existence d'une technique constructive d'approximation de tout ensemble de points dans l'espace euclidien (tel qu'une image) par l'attracteur d'un système de fonctions itérées, à tout degré de précision souhaité.

En termes simples, le théorème du collage prouve qu'on peut recouvrir toute forme de l'espace par des copies d'elle-même.

Ce théorème, utilisé en compression fractale, a été démontré en 1985 par Michael Barnsley (en)[1].

Le théorème

Soit X un espace métrique complet. Soit L\in\mathcal{H}(X) l'ensemble à approximer, et soit \varepsilon\ge0. On choisit un système de fonctions itérées (IFS) \{w_1, w_2, \dots, w_N\} sur X, avec rapport de contraction s, tel que :

h\left( L, \bigcup_{n=1}^N w_n (L)\right)\le\varepsilon,

h(d) est la distance de Hausdorff. Alors

h(L,A) \leq \frac{\varepsilon}{1-s},

A est l'attracteur de l'IFS.

De manière équivalente,

h(L,A) \leq (1-s)^{-1} h\left(L,\cup_{n=1}^N w_n(L)\right)

pour tout L \in \mathcal{H}(X) et tout IFS \{w_1, w_2, \dots, w_N\} sur X, d'attracteur A et de rapport de contraction s.

Notes et références

  1. M. F. Barnsley, S. Demko, "Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals," The Proceedings of the Royal Society of London A 399, pp. 243-275 (1985)

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