Théorème de Meyers-Serrin H=W


Théorème de Meyers-Serrin H=W

En analyse fonctionnelle, le théorème de Meyers-Serrin (de) concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.

Sommaire

Définitions préalables

Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.

Soient Ω un ouvert quelconque ( non vide ) de \R^n. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.

Plus précisément, si m est un entier naturel positif, p un réel tel que 1\leqslant  p <  \infty et α est un multi-indice

  • Wm,p(Ω) est l'espace de Sobolev :
\{u\in L^p(\Omega); D^\alpha u \in L^p(\Omega), \forall \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha| \le m\  \}

muni de la norme :

\| u \|_{W^{m, p}} := (\sum_{| \alpha | \leqslant  m} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}^p)^{1/p}

Dαu est une dérivée partielle de u au sens des distributions et \| . \|_{L^{p}} désigne la norme de l' espace de Lebesgue Lp(Ω).


\{u\in C^\infty(\Omega);\| u \|_{H^{m, p}} < \infty\}

avec

\| u \|_{H^{m, p}} := (\sum_{| \alpha | \leqslant  m} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}^p)^{1/p}

Dαu est une dérivée partielle de u au sens classique (  u \in C^\infty(\Omega)) .

Énoncé du théorème

Wm,p(Ω) = Hm,p(Ω)

Démonstration

Elle est donnée dans les deux liens externes.

Remarque

Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers ( satisfaisant à certaines propriétés de régularité)[1].

Notes et Références

  1. Voir, par exemple, Shmuel Agmon (de), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, D. Van Nostrand, Princeton, 1965; p. 11.

Liens externes


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