Théorème de Meyers-Serrin H=W

En analyse fonctionnelle, le théorème de Meyers-Serrin (de) concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.

Définitions préalables

Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.

Soient Ω un ouvert quelconque ( non vide ) de $\R^n$. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.

Plus précisément, si m est un entier naturel positif, p un réel tel que $1\leqslant p < \infty$ et α est un multi-indice

• W^m,p(Ω) est l'espace de Sobolev :

$\{u\in L^p(\Omega); D^\alpha u \in L^p(\Omega), \forall \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha| \le m\ \}$

muni de la norme :

$\| u \|_{W^{m, p}} := (\sum_{| \alpha | \leqslant m} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}^p)^{1/p}$

où D^αu est une dérivée partielle de u au sens des distributions et $\| . \|_{L^{p}}$ désigne la norme de l' espace de Lebesgue L^p(Ω).

• H^m,p(Ω) est l’adhérence dans W^m,p(Ω) de $C^\infty(\Omega) \cap W^{m, p}(\Omega)$ ou encore le complété de l'espace vectoriel normé

$\{u\in C^\infty(\Omega);\| u \|_{H^{m, p}} < \infty\}$

avec

$\| u \|_{H^{m, p}} := (\sum_{| \alpha | \leqslant m} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}^p)^{1/p}$

où D^αu est une dérivée partielle de u au sens classique ( $u \in C^\infty(\Omega)$) .

Énoncé du théorème

W^m,p(Ω) = H^m,p(Ω)

Démonstration

Elle est donnée dans les deux liens externes.

Remarque

Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers ( satisfaisant à certaines propriétés de régularité)^[1].

Notes et Références

1. ↑ Voir, par exemple, Shmuel Agmon (de), Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, D. Van Nostrand, Princeton, 1965; p. 11.

Liens externes

• (en) NORMAN G. MEYERS AND JAMES SERRIN, H= W ( Proc. Nat. Acad. Sci USA 51, 1964, 1055-1056.)
• Laurent Landry, Les espaces de Sobolev [PDF]