Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

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En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, dit que pour tout nombre irrationnel x, il existe une infinité de rationnels h / k tels que

$\left|x-\frac h k\right|<\frac1{\sqrt5\, k^2}$.

Précisions

• L'hypothèse d'irrationalité de x est indispensable.
• L'ensemble des couples $(h,k)\in\Z\times\N^*$ vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels h et k sont premiers entre eux l'est.
• Les rationnels h / k qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel x (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
• La constante √5 est optimale : pour x égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels h / k.

Démonstration

Optimalité de la constante √5.

Prenons Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): c=\frac\sqrt5\alpha

avec 0 < α < 1 et $x=\frac{1+\sqrt5}2$. Si $\theta=\sqrt5k^2\left(\frac{\sqrt5+1}2-\frac hk\right)$, alors, on souhaite avoir $| \theta | \leq \alpha$. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve 

$h^2-hk-k^2=\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta\,$. Si on considère P(h) = h² − hk − k² comme un polynôme en h, on a $P(h)=0\Leftrightarrow h=\frac{(1\pm\sqrt5)k}2$, mais, comme h et k sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour P(k). Donc $|h^2-hk-k^2|\geq 1$

$1\le\left|\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta~\right|\le|\theta|+\frac{|\theta|^2}{5k^2}\le\alpha+\frac{\alpha^2}{5k^2}$

Soit encore $k^2<\frac{\alpha^2}{5(1-\alpha)}$, ce qui donne un nombre fini de solutions pour k. Comme h doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

Preuve du théorème proprement dit.

Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec $\frac{a}{b}$ et $\frac{a'}{b'}$ deux termes consécutifs tels que $\frac{a}{b}<x< \frac{a'}{b'}$. On peut vérifier que :

• • soit $b' > \frac{b \sqrt{5}+1}{2}$
  • soit $b' < \frac{b \sqrt{5}-1}{2}$

Si $\omega = \frac{b'}{b}$, on a $\omega > \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ou $\omega < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. On peut montrer que $1+\omega ^{-2} > \sqrt5\omega^{-1}$, d'où

$\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) > \frac{1}{\omega b^2}$. Mais d'un autre côté, $\frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right)$, ce qui termine l'ébauche de démonstration.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (number theory) » (voir la liste des auteurs)
• (de) Adolf Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », dans Mathematische Annalen, vol. 39, n^o 2, 1891, p. 279-284 [texte intégral] 
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions] (2008) théorème 193 p. 209
• (en) William J. LeVeque (en), Topics in number theory, Addison-Wesley, 1956 

Articles connexes

• Théorème d'approximation de Dirichlet (en)
• Nombre de Lagrange (en)
• Théorème de Liouville (approximation diophantienne)