Test de Shapiro-Wilk

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En statistiques, le test de Shapiro–Wilk teste l'hypothèse nulle selon laquelle un échantillon x₁, ..., x_n est issu d'une population normalement distribuée. Il a été publié en 1965 par Samuel Shapiro and Martin Wilk^[1].

Le test statistique est:

$W = {\left(\sum_{i=1}^n a_i x_{(i)}\right)^2 \over \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$

où

• x_(i) (avec des parenthèses entourant l'indice i) est le ième "ordre statistique", i.e., le ième plus petit nombre dans l'échantillon;
• Modèle:Overbar = (x₁ + ... + x_n) / n est la moyenne de l'échantillon;
• la constante a_i est donnée par^[2]

$(a_1,\dots,a_n) = {m^\top V^{-1} \over (m^\top V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$

où

$m = (m_1,\dots,m_n)^\top\,$

et m₁, ..., m_n sont les "valeurs attendues" de l'ordre statistique d'un échantillon indépendant et identiquement distribué suivant une loi normale, et V est la matrice de variance-covariance de cet ordre statistique.

L'utilisateur devra rejeter l'hypothèse nulle si W est trop petit^[3].

Il peut être interprété avec un Q-Q plot ou droite de Henry.

Interprétation

Sachant que l'hypothèse nulle est que la population est normalement distribuée, si la p-value est inférieure au niveau alpha choisi, alors l'hypothèse nulle est rejetée (i.e. on conclut que les données ne sont pas issues d'une population normalement distribuée). Si la p-value est supérieure au niveau alpha choisi, alors on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle selon laquelle les données sont issues d'une population normalement distribuée. Par exemple, pour un niveau alpha de 0.05, un jeu de données avec une p-value de 0.32 n'entraîne pas le rejet de l'hypothèse nulle selon laquelle les données sont issues d'une population normalement distribuée.[1]

Voir aussi

• Loi normale
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Droite de Henry
• Shapiro-Wilk test

Références

1. ↑ S. S. Shapiro, « An analysis of variance test for normality (complete samples) », dans Biometrika, vol. 52, n^o 3-4, 1965, p. 591–611 [lien DOI] 
2. ↑ op cit p. 593
3. ↑ op cit p. 605

Liens externes

• [2]
• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Online version of the Shapiro-Wilk test
• Test de Shapiro avec R